08. Практические приложения подобия треугольников

Повторение определения и признаков подобия треугольников

Повторим основные понятия, связанные с подобием треугольников.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны (см. Рис. 1).

.

Таким образом, стороны большего треугольника можно выразить через стороны малого треугольника таким образом:

.

Признаки подобия треугольников.

1. Первый признак подобия треугольников (по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

3. Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Задачи на измерения на местности

Пример 1. Определить высоту дерева () и расстояние до его вершины (), не залезая на него (см. Рис. 2).

Решение. Для определения искомых величин используем шест  известной длины с вращающейся планкой на конце, который устанавливаем так, чтобы точки , и  лежали на одной прямой. Использование вспомогательного шеста необходимо для установления факта подобия треугольников  и вычисления искомых сторон с помощью коэффициента подобия.

Треугольники  по первому признаку подобия, т.к. у них угол — общий и они прямоугольные, т.е. имеют еще по прямому углу.

Следовательно, по определению подобных треугольников

Ответ:

Пример 2. Определить расстояние от точки  до недоступной точки  (см. Рис. 3).

Решение.

Выбираем на местности удобную точку  и замеряем углы и . По этим углам можно построить другой меньший треугольник , который будет подобным к треугольнику  по первому признаку подобия. В построенном, например, на бумаге треугольнике  можно выполнить любые измерения. Измерим длину сторон  и . Затем измерим на местности расстояние от указанной точки  до выбранной точки : .

Запишем соотношение сторон подобных треугольников :

.

Ответ: .

Задача на построение

Рассмотрим аналогичную задачу, но уже с расчетами, в которых важно уметь выбрать удобный коэффициент подобия.

Пример 3. Определить расстояние в метрах от точки  до недоступной точки , если  (см. Рис. 3).

Решение. Построим уменьшенный подобный треугольник  так, чтобы , т.е. тогда коэффициент подобия будет равен удобному для дальнейших вычислений числу

. Замеряем .

Поскольку, как указано ранее, .

Ответ: .

Пример 4. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Построение. Дано: , , — биссектриса третьего угла (см. Рис. 4).

Выберем произвольный отрезок  и строим на нем треугольник  по стороне и двум углам , . В построенном треугольнике проводим биссектрису из угла , и если она не совпала с указанной в условии биссектрисой, то строим . Затем через точку  проводим прямую  до пересечения с продолжениями сторон  и  треугольника . Искомый треугольник  построен. Углы ,  как соответственные при параллельных прямых, — необходимая биссектриса (см. Рис. 5).

Построено.

На следующем уроке мы познакомимся с такими понятиями, как синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Список литературы

1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир С. М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

2. Интернет-портал «artemovo-st.narod.ru».

3. Интернет-портал «libhist.narod.ru».

Домашнее задание

1. Стр. : № . Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. Метеорологический зонд представляет собой воздушный шар радиусом м. Оцените высоту, с которой зонд в ясную погоду перестает отбрасывать тень на поверхность Земли. Считайте, что во время подъема зонда Солнце находится в зените. Данные о расстоянии от Солнца до Земли и о размерах Солнца найдите в общедоступных источниках.

3. Предложите способ измерения ширины недоступного для преодоления участка, например, заболоченного, с помощью использования свойств средней линии треугольника.