09. Практика. Решение задач. Четырёхугольники

Задачи на произвольный четырехугольник

Задача 1. Найти углы четырехугольника, если они относятся как .

Решение

Задачи, в которых известно соотношение всех элементов и их сумма, решаются по одной схеме. Обозначим величины углов как ,,,(см. рис. 1).

Сумма углов четырехугольника равна :

Следовательно, величины углов равны: первый угол , второй и третий углы , четвертый угол .

Ответ: ;;;.

Задача 2. Определить вид фигуры, которая получится, если последовательно соединить середины сторон произвольного четырехугольника.

Решение

Отметим в произвольном четырехугольнике середины и соединим их последовательно (см. рис. 2).

Согласитесь, результат достаточно неожиданный: полученная фигура явно похожа на параллелограмм. Так ли это на самом деле?

Проведем диагональ, например (см. рис. 3).

Диагональ  разбивает четырехугольник на два треугольника. Отрезок – средняя линия верхнего треугольника . Следовательно, она параллельна основанию треугольника  и равна его половине:

Но ровно то же самое можно сказать об отрезке . Он тоже является средней линией треугольника , значит, параллелен  и равен его половине:

Но, значит, отрезки  и  равны и параллельны друг другу:

А это является признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

На самом деле, это известная теорема Вариньона: середины сторон любого четырехугольника образуют параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Полученный результат можно уточнить для некоторых частных случаев: так, если диагонали четырехугольника равны, то середины сторон образуют не просто параллелограмм, а ромб (см. рис. 4). А если диагонали перпендикулярны, то прямоугольник (см. рис. 5). Докажите эти утверждения самостоятельно.

Задачи на параллелограмм и его виды

Перейдем теперь к задачам с частными случаями прямоугольников. Вспомним, какие виды четырехугольников мы с вами знаем (см. рис. 6). Начнем с задач на параллелограмм.

Задача 3. Найти углы параллелограмма, если один из его углов меньше другого в  раза.

Решение

Такую задачу невозможно было бы однозначно решить для произвольного четырехугольника. Но мы знаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме равны . Очевидно, здесь речь идет о неравных, т. е. смежных углах.

Меньший угол обозначаем как , в четыре раза больший угол как (см. рис. 7).

Тогда:

Это меньший угол, а больший угол равен:

Ответ: ;.

Задача 4. Как расположены биссектрисы параллелограмма?

Решение

Рассмотрим сначала две биссектрисы смежных (соседних) углов. Они пересекутся в точке  (см. рис. 8).

Сумма смежных углов параллелограмма равна :

Значит, сумма их половин равна :

Следовательно, третий угол треугольника равен:

Т. е. угол  прямой.

Таким образом, биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны друг другу (см. рис. 9).

Но если биссектриса угла  перпендикулярна биссектрисе угла  и биссектриса угла  перпендикулярна биссектрисе угла , то биссектрисы углов  и  параллельны (см. рис. 10) (как прямые, перпендикулярные одной прямой – признак параллельности). Из этого следует, что биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу.

В частном случае они могут совпасть. Ответьте, что нужно дополнительно потребовать от параллелограмма, чтобы это произошло?

Ответ: биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны друг другу; биссектрисы противоположных углов – параллельны.

Задача 5. Найти периметр параллелограмма, если биссектриса делит сторону параллелограмма на отрезки  и см (см. рис. 11).

Решение

Биссектриса делит угол на два равных угла  и (см. рис. 12).

Углы  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых – противоположных сторонах параллелограмма (см. рис. 13).

Значит, углы , следовательно, треугольник, который биссектриса отсекает от параллелограмма, равнобедренный (см. рис. 14).

Тогда, в нашем случае, вторая сторона равна (см. рис. 15), а периметр равен:

см

Возможен и другой вариант – вторая сторона равна (см. рис. 16), а периметр равен:

см

Полезным фактом в этой задаче является то, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Ответ: см;см.

Задача 6. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и соединяющей их диагонали.

Решение

Проведем анализ. Допустим, параллелограмм построен (см. рис. 17).

Стороны треугольника  являются данными в условии отрезками. Значит, сначала надо построить треугольника  по трем сторонам, а затем на стороне  построить ему равный треугольник.

Выполним построение. Построим треугольник со сторонами, равными данным отрезкам (см. рис. 18, 19). На стороне  построим равный треугольник так, чтобы ,(см. рис. 20).

Как выполнить эти построения? Например, построить отрезок , равный одному из данных в условии отрезков (стороне параллелограмма). Затем построить две окружности с центрами в точках  и  и радиусами, равными второй стороне и диагонали соответственно. Они пересекутся в двух точках (нас будет интересовать любая из них – второй случай будет таким же, с точностью до симметрии). После этого мы получим треугольник (см. рис. 21). Его стороны действительно равны сторонам из условия.

А дальше нужно построить две окружности – одну с центром в точке  и радиусом , а вторую – с центром в точке  и радиусом . Одна из полученных точек пересечения и будет искомой точкой (см. рис. 22).

Теперь нужно доказать, что построенный четырехугольник – параллелограмм.

Но у этого четырехугольника противоположные стороны попарно равны. Это признак параллелограмма.

Последний шаг в алгоритме построения – это исследование на количество решений. Очевидно, что можно подобрать исходные отрезки таким образом, чтобы они не подчинялись неравенству треугольника – сумма двух сторон всегда больше третьей (см. рис. 23). В этом случае невозможно построить треугольник, а следовательно, и параллелограмм.

Если же три отрезка удовлетворяют неравенству треугольника, то треугольник  строится однозначно и на отрезке  треугольник  тоже строится однозначно.

Следовательно, задача в этом случае имеет единственное решение.

Задача 7. Определить вид параллелограмма, у которого равны диагонали (см. рис. 24).

Решение

Мы знаем, что у прямоугольника диагонали равны, т. е. это его свойство. Работает ли оно в обратную сторону? Судя по рисунку, да. Давайте докажем, что это в самом деле так.

Т. к. по условию перед нами параллелограмм, то его противоположные стороны равны:

Кроме того, по дополнительному условию, равны и диагонали:

Тогда треугольники  и  равны по третьему признаку:

1. стороны ;

2. стороны ;

3. сторона  общая.

Из равенства треугольников следует равенство углов:

Итак, смежные углы равны, но противоположные тоже равны, как в любом параллелограмме:

Т. е. все четыре угла равны:

Следовательно, они все прямые:

Перед нами прямоугольник (см. рис. 25).

Ответ: прямоугольник

Условие задачи 7 можно сформулировать в виде признака прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Задача 8. Определить вид параллелограмма, если диагональ делит его угол пополам.

Решение

Рассмотрим параллелограмм . Пусть диагональ  делит угол  пополам (см. рис. 26).

Т. е.:

Но углы  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно:

Тогда треугольник  равнобедренный и (см. рис. 27). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

Задача 9. Доказать, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Доказательство

Диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника. Из этого следует, что диагональ ромба является биссектрисой его двух углов (см. рис. 28).

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла (вспомним, что биссектриса – ГМТ, равноудаленных от сторон угла).

Точка  принадлежит биссектрисе , следовательно, она равноудалена от сторон  и  (см. рис. 29):

Но точка  принадлежит и , значит, она равноудалена от  и  (см. рис. 30):

Таким образом:

Несложно видеть, что она удалена на одно расстояние от всех сторон (см. рис. 31). Аналогично:

Таким образом, мы еще раз доказали, что точка пересечения диагоналей ромба – это центр его вписанной окружности (см. рис. 32).

Доказано.

Задачи на трапецию

Задача 10. Определить вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить середины сторон равнобедренной трапеции (см. рис. 33).

Решение

Если вы вспомните выводы из аналогичной задачи для произвольного четырехугольника, а также то, что у равнобедренной трапеции равны диагонали, ответ получить легко. Сделаем это.

Мы уже знаем, что фигура  по крайней мере параллелограмм. Кроме того, мы видим, что два нижних треугольника  и  равны друг другу по первому признаку:

1. углы ;

2. стороны (свойство равнобедренной трапеции);

3. стороны (по условию).

Следовательно, две нижние стороны четырехугольника равны друг другу:

Параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

Задача 11. В трапеции диагональ является биссектрисой угла  и перпендикулярна боковой стороне, а угол (см. рис. 34). Периметр трапеции см. Найти стороны трапеции.

Решение

Трапеция похожа на равнобедренную. Если так, то это облегчает решение задачи. Убедимся, так ли это.

Треугольник  является прямоугольным:. Один его острый угол . Значит, второй острый угол равен:

Тогда получается, что угол  разбит биссектрисой на два угла по , значит, сам угол , т. е. углы , что является признаком равнобедренной трапеции (см. рис. 35).

Т. к. основания трапеции параллельны и  является секущей, то углы  равны как внутренние накрест лежащие, т. е.:

Но тогда у верхнего треугольника  углы при основании равны:

Значит, треугольник  равнобедренный (см. рис. 36), т. е.:

Итак, у нашей трапеции две боковые стороны и верхнее основание равны:

Обозначим длины этих сторон через :

Осталось выразить нижнее основание. Рассмотрим нижний прямоугольный треугольник . Катет  лежит напротив угла в , значит, он равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза (см. рис. 37):

Сумма всех сторон равна:

Но периметр нам известен из условия задачи:

Тогда боковые стороны и верхнее основание равны:

А нижнее основание равно:

Ответ: ;;;.

Задача 12. Основания трапеции относятся как , а средняя линия равна м. Найти основания.

Решение

Обозначим длины оснований  и  как  и (см. рис. 38).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Откуда:

м

Следовательно, основания равны:

Ответ: м;м.

Задача 13. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

Доказательство

Обозначим длины оснований трапеции как  и .

Построим среднюю линию трапеции. По теореме Фалеса, она пройдет через середины диагоналей, т. е. исследуемый отрезок лежит на средней линии, значит, параллелен основаниям (см. рис. 39). Одно положение мы уже доказали.

Средняя линия трапеции разделена на три части. Длину средней части мы ищем – обозначим ее через .

Левая часть является средней линией треугольника с основанием (см. рис. 40), т. е. сама равна:

Аналогично и правая часть является средней линией другого треугольника, но с тем же основанием (см. рис. 41), т. е. тоже равна:

Вся средняя линия трапеции равна полусумме оснований, запишем уравнение:

Итак, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, является частью средней линии. Он параллелен основаниям и равен их полуразности.

Доказано.

Список литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В./Под ред. Садовничего В. А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Домашнее задание

1. Сумма длин двух противолежащих сторон описанного четырехугольника равна . Найти периметр четырехугольника.

2. Найти углы параллелограмма, если разность двух из них равна .

3. Диагональ  трапеции  перпендикулярна боковой стороне . Вычислить длину основания , если , а периметр трапеции равен .