12. Практика. Решение задач. Многоугольники

Основные факты о правильных многоугольниках

Вспомним основные факты о правильных многоугольниках (см. рис. 1). У таких многоугольников все стороны и углы равны (это просто их определение). Сторону и угол правильного -угольника обычно обозначают: и Так, например, и – это сторона и угол правильного семиугольника.

Правильный -угольник (если  задано) задается всего одним параметром – длиной своей стороны. Все остальные элементы будут определяться этой величиной.

Если известно количество вершин правильного -угольника, то есть число n, то мы можем найти величину внутреннего угла (так как умеем вычислять сумму углов произвольного многоугольника, а в правильном многоугольнике все углы равны).

Сумма углов произвольного n-угольника равна. Разделив ее на количество углов, получаем формулу угла правильного многоугольника:

Вокруг любого правильного многоугольника всегда можно описать окружность, и в него всегда можно вписать окружность (см. рис. 2). Радиусы таких окружностей мы обычно обозначаем и (при необходимости – с индексом ).

Площадь любого описанного многоугольника, в том числе правильного, выражается через радиус вписанной окружности:

Сторона и радиус описанной окружности правильного многоугольника связаны формулой:

Ее несложно вывести, используя определение синуса для соответствующего прямоугольного треугольника.

Так же можно получить формулу, связывающую сторону и радиус вписанной окружности:

Это и есть основные наши знания о правильных многоугольниках. Потренируемся, используя эту информацию, решать различные задачи.

Нахождение углов и вершин правильного многоугольника

Задача 1. Найти углы правильного 10-угольника (см. рис. 3).

Решение

Используем известную нам формулу (или просто делим сумму углов 10-угольника на 10, чтобы найти один из 10 одинаковых углов):

Ответ: .

Задача 2. Сколько вершин в правильном многоугольнике, каждый угол которого равен (см. рис. 4)?

Решение

Это задача, обратная предыдущей. Для решения используем ту же самую формулу:

Теперь мы знаем величину угла, подставим ее и решим полученное уравнение относительно :

Ответ: .

Задача 3. Сколько вершин у правильного многоугольника, сторона которого стягивает дугу описанной окружности, равную (см. рис. 5)?

Решение

Вся окружность составляет . Наш многоугольник разбивает ее на дуги по Количество таких дуг:

Значит, мы имеем дело с 20-угольником.

Ответ: .

Нахождение площади правильного многоугольника

Задача 4. Найти площадь правильного многоугольника, если и

Решение

Можно использовать формулу для вычисления площади произвольного описанного многоугольника: .

Поскольку параметр, определяющий правильный многоугольник, – это его сторона (через нее мы умеем выражать все остальные необходимые нам элементы), то с нее мы и начнем.

Мы знаем, что:

Подставляем в нее известные нам из условия данные, получаем:

Тогда:

Теперь найти площадь не составит труда:

Ответ: .

Такой метод позволяет решать задачи «в лоб», не задумываясь о том, какие именно данные нам известны. Если вы помните формулы, то даже рисунок для решения такой задачи не нужен. В этом большой плюс такого универсального метода.

Но в данном случае, если задуматься о конкретном типе многоугольника, задача решается намного быстрее. Как только мы сообразим, что правильный многоугольник, у которого , – это квадрат, а радиус описанной окружности – это половина его диагонали (см. рис. 6), то задача упрощается до такой: найти площадь квадрата, если его диагональ равна:

Сторона квадрата в раз короче его диагонали (если не помните, почему так, проверьте с помощью теоремы Пифагора), то есть:

Тогда: .

Задача 5. Найти площадь правильного многоугольника, если, а .

Решение

Итак, понятно, что речь идет о равностороннем треугольнике (см. рис. 7) с периметром Значит, мы знаем его стороны:

Найти его площадь мы можем, как используя универсальный метод для правильного многоугольника (в котором не используются свойства конкретно треугольника), так и рассматривая частный случай равностороннего треугольника.

Способ 1. Проведем высоту в равностороннем треугольнике (см. рис. 8).

Мы можем ее найти или по теореме Пифагора, или умножив гипотенузу на :

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

Способ 2. Используя формулу для стороны правильного -угольника, найдем радиус вписанной окружности (см. рис. 9):

Найдем площадь, используя формулу для вычисления площади произвольного описанного четырехугольника:

Ответ:  

Задача 6. Найти площадь правильного 8-угольника, если (см. рис. 10).

Решение

Снова будем использовать формулу: .

Радиус вписанной окружности нам дан, осталось найти полупериметр. Периметр – это сумма длин всех сторон, в правильном 8-угольнике их 8 и они все равны, поэтому нужно найти длину одной стороны. Используем формулу радиуса вписанной окружности:

Значения тангенса такого угла в нашей таблице нет, поэтому пока оставим выражение в таком виде. Подставим в формулу для вычисления площади, получим:

Вычислим значение тангенса на калькуляторе (или найдем его по таблице Брадиса) и получим приближенное значение площади:

Ответ: .

Задача 7. Найти отношение площадей двух шестиугольников – описанного вокруг данной окружности и вписанного в нее (см. рис. 11).

Решение

Первый способ универсальный. Для одного из шестиугольников окружность будет вписанной, а для другого – описанной. Обозначим ее радиус за . Тогда площадь описанного шестиугольника, как мы знаем, вычисляется по формуле:

Тогда:

Площадь вписанного шестиугольника выразить черезнемного сложнее. Для него данная окружность уже будет описанной. Получаем:

Откуда:

Получаем:

Тогда:

В случае 6-угольника получаем:

Ответ: .

Обратите внимание, что мы нигде (до самого последнего действия) не использовали то, что речь идет о шестиугольниках. То есть можно сказать, что мы решили такую задачу для произвольных -угольников (в общем виде).

Теперь попробуем решить эту задачу, используя то, что правильные шестиугольники обладают некоторыми особенными свойствами.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, и стороны этих треугольников равны радиусу описанной окружности (см. рис. 12). Тогда малый шестиугольник состоит из шести треугольников со стороной

Большой шестиугольник состоит из треугольников, где является высотой (см. рис. 13). Сторона такого треугольника равна:

То есть сторона малого шестиугольника равна , а большого –.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

Элементы окружности и круга

Перейдем теперь к задачам, связанным с окружностью, кругом и их элементами (их свойства мы подробно разобрали на предыдущем уроке).

Задача 8. Найти длину дуги окружности радиуса 10, если ее градусная мера равна (см. рис. 14).

Решение

Совершенно не обязательно знать формулу длины дуги, чтобы решить такую задачу. Нам необходимо знать формулу длины всей окружности:

Если вся окружность – это , то дуга в занимает ее длины. Тогда можем найти длину дуги, используя пропорцию:

Ответ: .

Задача 9. Найти площадь сектора круга радиуса 10 с дугой (см. рис. 15).

Решение

Задача очень похожа на предыдущую, можем использовать аналогичные рассуждения: зная площадь всего круга и какую долю занимает сектор, найдем и площадь сектора:

Ответ: .

Окружность и четырехугольники

Задача 10. Найти длину окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 и 8 (см. рис. 16).

Решение

Ромб своими диагоналями разбивается на прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 (см. рис. 17).

Гипотенузу такого треугольника можно найти по теореме Пифагора или помнить, что она равна 5, так как речь идет о так называемом «египетском» треугольнике.

Центр вписанной в ромб окружности – это точка пересечения биссектрис его внутренних углов, то есть диагоналей. Тогда радиус этой окружности – это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу треугольника.

Выразим площадь треугольника двумя способами и приравняем результаты, чтобы найти высоту (радиус окружности):

Откуда:

Тогда длина вписанной окружности равна:

Ответ: 

Задача 11. Найти длину окружности, в которую вписана трапеция с основаниями 4 и 14 и боковой стороной 13 (см. рис. 18).

Решение

Сначала уточним вид нашей трапеции. У любой трапеции углы, прилежащие к боковой стороне в сумме равны . В нашем случае, например:

У любого вписанного в окружность четырехугольника противоположные углы в сумме тоже равны(вспомните, почему это так):

Тогда , а сама трапеция равнобедренная.

Итак, только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность. Таким образом, у нашей трапеции обе боковые стороны равны по 13.

Построим высоту трапеции и диагональ (см. рис. 19). Найдем высоту из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5 (подумайте, как мы его нашли) по теореме Пифагора. Высота равна 12.

Из соседнего прямоугольного треугольника с катетами 12 и 9 найдем диагональ , она равна 15. Окружность, описанная около трапеции, является описанной и для треугольника (это один из основных способов нахождения радиуса описанной около четырехугольника окружности – нахождение радиуса описанной около соответствующего треугольника окружности).

Вспомним формулу площади треугольника через радиус описанной окружности:

Откуда: .

Все стороны треугольника нам известны. Площадь найдем, зная основание и высоту (можно было бы и по формуле Герона, если бы высота была нам не известна):

Найдем радиус описанной окружности:

Найдем длину окружности:

Ответ: .

Задачи на построение

Задача 12. Построить правильный 8-угольник по заданной стороне.

Решение

Итак, дан отрезок (см. рис. 20). Нужно построить правильный 8-угольник, сторона которого равна данному отрезку.

Займемся анализом. Пусть 8-угольник уже построен (см. рис. 21). Он состоит из 8 равнобедренных треугольников с углом при вершине в .

Если мы построим такой треугольник, то его боковая сторона будет радиусом описанной окружности. Построив окружность, мы разделим ее на 8 равных частей хордами длиной (см. рис. 22).

Перейдем к построению. Треугольник легче строить по стороне и прилежащим углам, а не по противолежащему. Построим углы при основании. Для этого на прямой отложим угол при вершине треугольника, то есть . Это легко сделать, например, построив равнобедренный прямоугольный треугольник (см. рис. 23).

Смежный угол поделим пополам. Получим углы , которые будут углами при основании нашего треугольника (см. рис. 24).

Отложим на концах отрезка углы Получим искомый треугольник. Боковая сторона будет являться радиусом описанной окружности (см. рис. 25).

Построим окружность и отложим от произвольной точки 8 хорд . Получили искомый 8-угольник (см. рис. 26).

Докажем, что мы в самом деле построили правильный-угольник. Угол – половина смежного с углом . Сумма углов треугольника равна , следовательно, угол при вершине построенного треугольника равен (cм. рис. 27).

Построив на окружности радиуса хорду , мы получили треугольник, равный построенному перед этим по трем сторонам. Следовательно, угол при его вершине равен (см. рис. 28).

8 таких треугольников дадут суммарный центральный угол , т. е. полный угол (см. рис. 29).

Все углы построенного 8-угольникa равны , а все стороны равны . Т. е. он является правильным.

Задачи на построение требуют последним четвертым этапом исследование на количество решений. Несложно показать, что два правильных 8-угольника с равными сторонами равны друг другу. Т. е решение единственное.

Задача 13. Около данной окружности описать правильный четырехугольник (см. рис. 30).

Решение

Главное, что нам нужно помнить: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Чтобы провести касательную к окружности через данную точку на окружности, сначала проведем радиус к этой точке, а потом построим к нему перпендикуляр. Итак, перейдем к построению правильного четырехугольника, т. е. квадрата, описанного вокруг данной окружности.

Построим произвольный диаметр окружности. Проведем второй диаметр, перпендикулярный первому (см. рис. 31).

Пересечения диаметров с окружностью дали нам четыре точки. Построим в этих точках касательные к окружности (см. рис. 32).

Получили искомый описанный вокруг окружности квадрат (см. рис. 33).

Доказательство проведите самостоятельно, оно несложное. Совершенно очевидно, что мы построили прямоугольник. Вам осталось показать, что все стороны равны друг другу.

Решений у такой задачи может быть бесконечно много, так как вокруг окружности можно описать бесконечно много квадратов (достаточно уже построенный нами квадрат повернуть вокруг центра на любой угол). Но все такие квадраты будут равны между собой.

Задача 14. Даны два круга. Построить круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов (см. рис. 34).

Решение

Сумма площадей двух кругов равна площади третьего:

Подставим формулы площадей:

Сократим:

Радиусы трех окружностей удовлетворяют теореме Пифагора. Отсюда следует идея построения. Строим прямоугольный треугольник с катетами и . Гипотенуза будет равна радиусу искомой окружности (см. рис. 35). Осталось ее построить.

Поскольку окружность однозначно определяется своим радиусом, то и искомая окружность будет единственной (см. рис. 36).

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ru.onlinemschool.com‎» (Источник).

Домашнее задание

1. Периметры двух правильных -угольников относятся как Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?

2. Доказать, что отношение площади квадрата, вписанного в окружность, к площади квадрата, описанного около этой окружности, равно.

3. Из круга, радиус которого равен, вырезан сектор с дугой . Найти площадь оставшейся части круга.