03. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Теорема о средней линии треугольника

Докажем с помощью подобия первую теорему.

Определение

Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, называют средней линией.

Свойства средней линии треугольника:

- средняя линия параллельна основанию треугольника;

- длина средней линии равна половине длины основания треугольника.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Дано: треугольник . Точки и – середины сторон и соответственно. Отрезок – средняя линия треугольника.

Доказать: , .

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и  (см. Рис. 1). Они подобны по углу и прилежащим к нему сторонам. Треугольники имеют общий угол , и отношения сторон равны: .

То есть коэффициент подобия данных треугольников  и отношение всех линейных элементов равно . Таким образом, , , средняя линия треугольника равна половине основания.

Чтобы доказать параллельность средней линии и основания, нужно найти признаки параллельных прямых, для этого надо рассмотреть две прямые и секущую и найти равные углы. Поскольку треугольники  и  подобны, все их соответствующие углы равны, таким образом , а это соответственные углы при пересечении двух прямых третьей, отсюда прямые и параллельны, средняя линия треугольника параллельна его основанию.

Теорема о медианах треугольника

Докажем с помощью подобия свойство медиан треугольника.

Определение

Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении , считая от вершины.

Дано: треугольник ,  – медиана к стороне ,  – медиана к стороне ,  – медиана к стороне , точка – точка пересечения медиан.

Доказать: точка – точка пересечения есть и единственная; , , .

Доказательство:

Соединим точки и . – средняя линия треугольника  (см. Рис. 2). Отсюда треугольник . Они подобны по равенству двух углов (углы  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей , углы  как вертикальные). Мы знаем, что средняя линия равна половине основания треугольника, то есть , отсюда коэффициент подобия данных треугольников . Все линейные элементы треугольников соотносятся с таким коэффициентом подобия, отсюда  и . Аналогично из подобия треугольников  можно доказать, что  и .

Таким образом, если взять две медианы и , мы докажем, что медиана рассекает медиану в отношении , аналогично медиана рассекает медиану в отношении , а значит, все три медианы пересекаются в точке , такая точка единственная, и она делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Теоремы о прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла, отсекает в нем два подобных треугольника, таким образом, получаем вместе с исходным три подобных треугольника.

Задан прямоугольный треугольник, угол , высота (см. Рис. 3). Отрезок обозначается как  – это проекция катета на гипотенузу . Аналогично это  – проекция катета на гипотенузу . Гипотенуза обозначается .

Основное свойство углов прямоугольника – их сумма составляет : .

Если , то

, .

Таким образом, треугольники подобны по трем равным углам:

Несложно заметить, что катет есть среднее геометрическое или среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на нее: , , .

Данные равенства являются следствием доказанной теоремы о подобных треугольниках, отсеченных высотой. Докажем одну из них.

Теорема

Катет есть среднее геометрическое или среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на нее.

Запишем косинус угла  из двух треугольников:

Применим свойство пропорции. Получаем:

Чтобы доказать данную теорему для катета , нужно рассмотреть косинус угла .

Чтобы доказать теорему для высоты, нужно рассмотреть два маленьких треугольника и выписать тангенс угла .

Из треугольника :

Из треугольника :

Применим основное свойство пропорции, получаем:

Итак, мы доказали с помощью подобия треугольников некоторые теоремы и увидели, что подобие треугольников играет важную роль при решении задач и доказательстве новых теорем.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «edu.glavsprav.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного треугольника.

2. Задание 2: расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, – 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

3. Задание 3: докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.