01. Многоугольники
02. Параллелограмм
03. Признаки параллелограмма
04. Третий признак параллелограмма
05. Задачи на параллелограмм
06. Трапеция
07. Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»
08. Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция» (продолжение)
09. Прямоугольник
10. Ромб и квадрат
11. Повторение теории и решение задач
12. Прямоугольник, ромб и квадрат. Осевая и центральная симметрии
03. Признаки параллелограмма
Видео доступно по абонементу
Определение и основные свойства параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Вспомним основные свойства параллелограмма:
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.
Первый признак параллелограмма
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
, .
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:
- параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
, .
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что и по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:
- параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример на применение первого признака параллелограмма
Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.
Пример 1. В выпуклом четырехугольнике и , и . Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .
Решение. Изобразим Рис. 4.
- параллелограмм по первому признаку параллелограмма.
А. по свойству параллелограмма о противоположных углах, по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.
Б. по свойству равенства противоположных сторон.
Ответ: , , .
На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма (третий).
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).
Домашнее задание
№ 51 (а, д, е), 52 (а, г, д). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из сторон четырехугольника, равна , то этот четырехугольник – параллелограмм.
Точки и – соответственно середины сторон и параллелограмма . Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.
В треугольнике медиана перпендикулярна к стороне , . Найдите .