07. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.

Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

;. При этом коэффициентназывается коэффициентом подобия.

Углы в прямоугольном треугольнике

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.

Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).

.

При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна:

Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.

Дано:– прямоугольный (,– высота.

Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).

Решение:   

Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

. Значит,.

Кроме того, треугольник– также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна

 (см. Рис. 4).

Аналогично с треугольником:.

Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).

– проекция катетана гипотенузу,– проекция катетана гипотенузу– это стандартные обозначения.

На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника, причём в каждом из них есть острый угол. Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников:.

Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

С помощью этого факта можно доказать три теоремы:

1.     (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.     (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.     (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Определение

Средним геометрическим двух неотрицательных чиселиназывается такое неотрицательное число, что:.

Докажем сформулированные выше теоремы.

Доказательство теорем

Теорема 1. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников. Запишем отношение соответствующих сторон:(отношение сторон, лежащих против угла, равно отношению сторон, лежащих против угла). Из этой пропорции получаем:. Или:.

Доказано

Теорема 2. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников. Запишем отношение соответствующих сторон:. (отношение сторон, лежащих против угла, равно отношению сторон, лежащих против угла). Из этой пропорции получаем:. Или:.

Доказано.

Теорема 3. .

Доказательство

Воспользуемся подобием треугольников. Запишем отношение соответствующих сторон:(отношение сторон, лежащих против угла, равно отношению сторон, лежащих против угла). Из этой пропорции получаем:. Или:.

Доказано.

Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

Примечание:

Сформулируем ещё одно альтернативное доказательство теоремы Пифагора с помощью доказанных выше теорем.

.

Доказанные теоремы позволяют решать многие задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.

Пример на применение доказанных теорем

Пример 1

Дан прямоугольный треугольник (– высота.. Найти (см. Рис. 6).

Решение:

Найдём длину гипотенузы:. Далее воспользуемся доказанными теоремами:

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках и их применение при решении задач. На следующем уроке мы рассмотрим практические приложения подобия треугольников.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 135(а), 136(а), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. В прямоугольном треугольнике() проведена высота.

   Найдите:

   а), если;

   б), если см,.

3. Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длинойи.