02. Прямоугольные треугольники

Стандартные обозначения в прямоугольных треугольниках

Определение. Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой (равен ).

Прямоугольный треугольник – частный случай обычного треугольника. Поэтому все свойства обычных треугольников для прямоугольных сохраняются. Но есть и некоторые частные свойства, обусловленные наличием прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  (см. рис. 1). Сразу договоримся употреблять общепринятые обозначения:

 – прямой угол;

 – гипотенуза;

,  – катеты;

, .

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника.

Свойство 1. Сумма углов  и  прямоугольного треугольника равна .

Доказательство. Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна . Учитывая тот факт, что , получаем, что сумма оставшихся двух углов равна . То есть, .

Доказано.

Свойства прямоугольного треугольника (сумма острых углов, соотношение длин катетов и гипотенузы, неравенство треугольника)

Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов  и  прямоугольного треугольника равна . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше . Значит,  является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: , .

Доказано.

Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Из данного неравенства сразу же следует свойство 3.

Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше. В числовом примере это выглядит так: , , но .

Доказано.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В курсе геометрии 7 класса были изучены, а на прошлом уроке – повторены, так называемые признаки равенства треугольников. Напомним их:

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой. Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (см. рис. 2).

Дано:

Доказать: .

Доказательство: вспомним, что в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .

Доказано.

2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. рис. 3).

Дано:

Доказать: .

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .

Доказано.

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. рис. 4).

Дано:

Доказать: .

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .

Доказано.

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного  треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. рис. 5).

Дано:

Доказать: .

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, а, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .

Доказано.

Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.

Свойство

Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (см. рис. 6).

Дано:

Доказать: 

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую  за точку  на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы  и  – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .

Значит, прямоугольные треугольники  (по двум катетам:  – общий,  – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того,  (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник  – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что , что и требовалось доказать.

Доказано.

Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Сформулируем ещё один важный признак прямоугольного треугольника.

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.

Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.

Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)

Итак, признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Примечание: напомним, что медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (см. рис. 7).

Дано:

Доказать: .

Доказательство: поскольку , то треугольники ,  – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, , . Тогда сумма углов треугольника  равна . Значит, . Но: , что и требовалось доказать.

Доказано.

В данном уроке мы рассмотрели основные свойства прямоугольных треугольников, изученные ранее в 7 классе. В частности, вспомнили признаки равенства, а также другие признаки и свойства прямоугольных треугольников.

Список литературы

1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир С. М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «edu.glavsprav.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. В прямоугольном треугольнике  ,  – биссектриса, . Найти длину катета , если  см.

2. На гипотенузе  прямоугольного треугольника  обозначили точку  так, что . Докажите, что точка  равноудалена от точек ,  и .

3. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если они относятся как .

4. Медиана , проведенная к гипотенузе, равняется  см. .

5. В треугольнике ,  – биссектриса, . Отрезок  на  см меньше отрезка . Найти биссектрису .