09. Прямоугольник

Определение и свойство прямоугольника

Введем определение прямоугольника.

Определение. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 1).

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема 1. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Изобразим на Рис. 2 прямоугольник (как и у параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны). Все углы прямые. Необходимо доказать, что диагонали .

Рассмотрим для доказательства прямоугольные треугольники, в которых присутствуют указанные диагонали  и :  прямоугольные треугольники  по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы треугольников , что и требовалось доказать.

Доказано.

Обратим внимание, что это свойство специфическое и относится только к прямоугольнику, ко всем остальным параллелограммам оно не относится.

Признак прямоугольника

Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. Изобразим Рис. 3. Нам необходимо доказать, что изображенный параллелограмм с двумя равными диагоналями – прямоугольник, т.е. имеет прямой угол.

Поскольку  – параллелограмм, то можем воспользоваться его свойством: . Кроме этого,  – по трем сторонам (, - общая, ), следовательно, . Тогда имеем: - прямоугольник, что и требовалось доказать.

Доказано.

Разные задачи на прямоугольники

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если , .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Сначала будем искать стороны указанного треугольника:  ( по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны .

Т.к. угол .

Рассмотрим треугольник :  (аналогично углу ), - равносторонний. Следовательно, его периметр .

Ответ: 18 см.

Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла  делит сторону  на отрезки 2 см и 3 см.

Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).

Т.к.  – биссектриса, то , кроме того,  – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно, - равнобедренный, а из этого следует, что .

Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.

А. Рис. 5 (а). . Сторона прямоугольника  (для обоих случаев). Периметр прямоугольника .

Б. Рис. 5 (б). . Периметр прямоугольника .

Ответ: или .

Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Изобразим Рис. 6.

Необходимо доказать, что . Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.

Продлим медиану  на ее длину, расстояние до точки : . Мы получили четырехугольник . В нем  и  диагонали, и для него мы можем указать следующие факты: - параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем - прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).

По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем, что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 4. (обратная задача). В треугольнике  медиана . Докажите, что .

Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы , .

Рассмотрим , он равнобедренный ( по условию) .

Рассмотрим , он также равнобедренный ( по условию).

Запишем сумму углов треугольника :  . Но угол , что и требовалось доказать.

Доказано.

Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники

Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.

По условию - равнобедренный .

Искомый периметр прямоугольника: .

Рассмотрим прямоугольный :

,

Тогда периметр прямоугольника :

.

Ответ: 12 см.

Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.

По условию  равнобедренный и прямоугольный .

Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей : , .

Рассмотрим треугольники  и  – они прямоугольные и имеют по одному углу , следовательно, второй угол у них тоже по  (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и , .

Теперь можем выписать длину гипотенузы  как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели):

.

Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр:, , .

Ответ: стороны равны , ; периметр равен .

Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Стр. 57, 58: № 53, 54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный . Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.

3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на  4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.

4. Построить прямоугольник по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см.

Логические задачи и головоломки