05. Решение треугольников

Однозначное задание треугольника

У треугольника шесть основных элементов, которые можно измерить, – три стороны и три угла (см. рис. 1).

Мы уже говорили, что треугольник почти всегда однозначно задается любыми тремя из них. Что значит «однозначно»? Это значит, что можно построить только один треугольник с такими элементами (или, если точнее: все треугольники с такими элементами будут эквивалентны – равны друг другу) (см. рис. 2).

Почему почти? Есть два исключения. Первое – три угла. Действительно, если мы знаем два угла треугольника, то можем найти третий (сумма равна ). Значит, никакой новой информации величина третьего угла нам не дает. Поэтому мы можем говорить о том, что в этом случае знаем всего лишь два элемента, а этого достаточно, чтобы задать треугольника с точностью до подобия (см. рис. 3).

Еще одно исключение – две стороны и угол не между ними. Действительно, у этих двух треугольников равны две стороны и по одному углу, но они не равны друг другу (см. рис. 4).

Во всех остальных случаях три элемента (длины сторон или величины углов) однозначно задают треугольник (см. рис. 5). А значит, мы можем попытаться вычислить значения остальных неизвестных элементов треугольника по известным.

Решение треугольников

Нахождение всех шести основных элементов треугольника называется «решением треугольника». Для этих целей нам понадобятся два важных инструмента: теорема синусов и теорема косинусов. Вспомним их.

Теорема синусов – в любом треугольнике: , где , ,  – длины сторон, , , – углы треугольника, – радиус описанной окружности (см. рис. 6).

При этом чаще всего мы будем использовать не всю теорему синусов, а равенство двух выражений из нее, например:

Теорема косинусов – в любом треугольнике (см. рис. 7):

В каких случаях использовать каждую из теорем? Логика очень простая: если нам известны три элемента из четырех, которые фигурируют в формулировке какой-то из теорем, то эту теорему можно использовать, чтобы найти четвертый неизвестный элемент.

Например, если мы знаем длины двух сторон и угол между ними, то с помощью теоремы косинусов легко найдем длину третьей стороны (см. рис. 8).

Если мы знаем углы треугольника и одну из сторон, то с помощью теоремы синусов можем найти длины оставшихся сторон (см. рис. 9).

В некоторых случаях можно использовать любую из теорем – тогда выбор можно сделать на свой вкус. Даже если вы сразу не видите, какую из теорем использовать, не переживайте. Их всего две – попробуйте воспользоваться одной, если не получается или получается слишком громоздко, то вернитесь и используйте вторую теорему.

Задача 1. Решить треугольник, если две его стороны  и  см, а угол между ними  (см. рис. 10).

Решение.

Т. е. требуется найти оставшиеся три элемента – сторону и два угла. Мы знаем длины двух сторон и угол между ними. Напрашивается использование теоремы косинусов, чтобы найти длину третьей стороны.

Получаем:

Откуда:

Если нас интересует приближенный результат, то можно считать, что:

Теперь мы знаем три стороны и один из углов (см. рис. 11).

Как найти оставшиеся углы? Можно использовать как теорему косинусов, так и теорему синусов. Рассмотрим оба способа.

Способ (теорема косинусов).

Применим теорему косинусов для неизвестного угла :

Выразим  (кстати, полезно помнить, как выводится эта формула – с ее помощью можно найти любой из углов треугольника, в котором известны три стороны):

Хоть мы и получили точное значение косинуса угла, мы до сих пор плохо себе представляем, чему равен сам угол. Здесь нужно посчитать приближенное значение:

Осталось найти сам угол. Для этого можно использовать таблицы Брадиса или инженерный калькулятор (функцию арккосинус), получим:

Третий угол найти совсем легко, используя то, что сумма углов треугольника равна :

Способ (теорема синусов).

Рассмотрим второй способ нахождения углов  и  с использованием теоремы синусов. Мы знаем угол , хотим найти, к примеру, угол , значит, будем использовать равенство:

Откуда:

Несложно проверить себя: мы уже находили . Мы знаем, что для любого угла должно выполняться:

Проверим:

Верно. Итак, нашли синус угла, можно вычислить его приблизительное значение, найти с помощью таблиц или калькулятора – естественно, получим тоже около .  в этой ситуации мы уже искать умеем.

Ответ: ; ; ; ;; .

Решим теперь треугольник по известной стороне и двум углам.

Задача 2. Пусть дан треугольник со стороной  и углами , .

Найти остальные элементы этого треугольника (см. рис. 12).

Решение.

Легче всего найти :

Чтобы использовать теорему косинусов, нужно знать длины двух сторон. Мы же пока знаем лишь одну. Поэтому воспользуемся теоремой синусов, только запишем ее в другом виде: если равны дроби, то равны и обратные к ним (надо не забыть, что равны они будут ):

Подставим известные нам величины:

Подставим приближенные значения синусов:

Из двух пропорций находим длины сторон  и :

Ответ: ; ; ; ; ; .

Наконец, решим треугольник, зная длины трех его сторон.

Задача 3. Пусть в треугольнике стороны равны , , . Найти углы (см. рис. 13).

Решение.

Теорему синусов есть смысл использовать, если мы знаем хотя бы один угол. Поэтому в данном случае воспользуемся теоремой косинусов:

Выразим :

Найдем , используя таблицы Брадиса или калькулятор:

Аналогично можем найти, например, :

Выразим :

Косинус получился отрицательный. Вспомним, что это означает: косинус – это координата  точки . Значит, в данном случае точка находится во второй четверти, а соответствующий ей угол – тупой (см. рис. 14). Действительно, получаем:

 можно найти так же, как мы искали  и . А можно воспользоваться свойством суммы углов треугольника:

Ответ: ; ; ; ; ; .

В рассмотренной задаче, после того как мы нашли угол , угол  можно было искать, используя теорему синусов, а не косинусов. Действительно:

Подставим значение первого синуса и найдем синус угла :

Пока все просто. Но если теперь с помощью калькулятора искать значение соответствующего угла, то получим:

И этот результат совсем не похож на тот, который мы получили с помощью теоремы косинусов:

Посмотрим снова на единичную окружность. Синус – это координата . Если , то этому значению соответствует два возможных значения угла треугольника:  и .

Калькулятор выдаст только одно значение угла – , а в нашей задаче как раз нужно второе значение. И по одному значению синуса нельзя понять, какое именно значение угла нужно выбрать. Потребуются дополнительные условия (например, известен вид угла: острый или тупой).

Именно поэтому в общем случае нельзя решить треугольник, зная две его стороны и угол не между ними. В самом деле, теорему косинусов использовать не получится, только теорему синусов. Но в этом случае мы найдем значение синуса неизвестного угла и не получим два возможных треугольника – с острым и тупым углом (см. рис. 16). Обязательно нужно дополнительное условие, например, что треугольник остроугольный или тупоугольный.

С косинусом таких сюрпризов не бывает. Поскольку для углов от  до косинус меняется в пределах от  до  и каждое свое значение принимает только один раз, то по известному значению косинуса угла треугольника мы всегда сможем однозначно восстановить сам угол (см. рис. 17).

Если косинус положительный, то угол острый. Если отрицательный – тупой. Если равен – прямой. Поэтому в задачах на решение треугольников угол предпочтительнее находить по теореме косинусов, а не синусов, чтобы не допустить ошибку.

Напоследок рассмотрим практическую задачу решения треугольников.

Задача 4. Как определить расстояние от наблюдателя на берегу до корабля на прямой видимости.

Решение.

Пусть наблюдатель находится в точке . И видит корабль в море. Мы хотим измерить расстояние  от наблюдателя до корабля. Замерим угол  между береговой линией и направлением на корабль (см. рис. 18).

Если наблюдатель пройдет расстояние  (чем больше расстояние, тем точнее будут расчеты) до точки  и там измерит угол между направлением наблюдения и берегом, то в полученном треугольнике нам будет известна сторона и два прилежащих к ней угла (см. рис. 19). Это второй тип задачи на решение треугольника из рассмотренных сегодня.

Третий угол треугольника равен:

Найти  мы сможем по теореме синусов.

Откуда:

Подставив конкретные значения, сможем для любой такой задачи вычислить интересующее нас расстояние.

Ответ: .

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru»

2. Интернет-портал «ru.solverbook.com»

Домашнее задание

1. Стороны треугольника равны , , . Найти углы.

2. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен . Доказать, что треугольник – прямоугольный.

3. Решить треугольник, одна из сторон которого равна , а прилежащие к ней углы равны  и .