08. Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция» (продолжение)

Решение задач по теме «Параллелограмм»

На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.

Пример 1.

Периметр параллелограмма  равен , . Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла ? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Дано:  – параллелограмм; ,  – биссектриса .

Решение:

Пусть , . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: .

Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?

Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса  пересекает сторону  (или её продолжение) в точке . Тогда:  (по определению биссектрисы),  (свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда:  – равнобедренный. Значит, . Значит, .

Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: .

Ответ: биссектриса  пересекает сторону  и делит её на отрезки  и .

Пример 2.

Стороны параллелограмма равны и . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Дано:  – параллелограмм; ,  – биссектрисы.

Найти: , , - ?

Решение:

Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники ,  – равнобедренные (так как , ). Получаем, что , . Тогда: .

Ответ: , , .

Пример 3.

Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.

Дано:  – равнобедренный треугольник (); , , .

Доказать: .

Доказательство:

 – параллелограмм (по определению – так как: , ). Докажем, что треугольники ,  – равнобедренные. Действительно: ,  – как соответственные. С другой стороны,  (свойство равнобедренного треугольника). Значит,  и треугольники ,  – равнобедренные. Тогда, , что и требовалось доказать.

Доказано

Решение задач по теме «Трапеция»

Пример 4.

В трапеции ( – большее основание): диагональ  перпендикулярна боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , . Найти длину большего основания трапеции.

Дано:  – трапеция ( – большее основание), , , .

Найти: - ?

Решение:

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию ), в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом  катет, лежащий против этого угла, в  раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .

 – равнобедренная трапеция. Значит, . Кроме того, по свойству соответственных углов:  – равнобедренный. Поэтому: .

Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : . Значит, большее основание трапеции: .

Ответ: .

Пример 5.

Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Дано:  – трапеция (), , , , . .

Доказать: .

Доказательство:

Выполним дополнительное построение: через точку  проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника:  и , которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: , . Но по условию: . Но углы , ,  вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна . Значит: , а  – прямоугольный.

Обозначим: , . Так как  и  – параллелограммы, то: . Кроме того: . Отсюда:  и  – медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть: , что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 6.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.

Дано:  – трапеция (), , ,  – высота,  – средняя линия.  

Доказать: .

Доказательство:

Выполним дополнительное построение: через точку  проведём прямую, параллельную диагонали . Эта прямая пересечёт продолжение основания  в точке .

Четырёхугольник  – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: . Но в равнобедренной трапеции диагонали равны:  – равнобедренный.

Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов:  – прямоугольный.

 – высота равнобедренного треугольника , а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: .

Но так как  – параллелограмм: . Получаем:  (свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.

Доказано.

На этом уроке мы рассмотрели различные задачи, в которых использовались свойства параллелограмма и трапеции.

На следующих уроках мы начнём изучать различные виды параллелограммов.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.

2. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.

3. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно . Найдите большее основание трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит её на отрезки, один из которых равен .