07. Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»

Повторение свойств и признаков параллелограмма

Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.

Рассмотрим сначала параллелограмм.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Основные свойства параллелограмма:

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм.

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм.

Повторение свойств равнобедренной трапеции

Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.

Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).

Теперь сформулируем одновременно свойства и признаки равнобедренной трапеции в виде необходимого и достаточного условия.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция  равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:

а)  – углы при основании равны;

б)  – диагонали равны.

Задача на параллелограмм

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. Из вершин  и  параллелограмма , у которого  и угол  острый, проведены перпендикуляры  и  к прямой . Докажите, что четырехугольник  – параллелограмм.

Доказательство. Выполним Рис. 7.

Рассмотрим треугольники  и :  – по острому углу и гипотенузе.

Перейдем к доказательству того, что  – параллелограмм:

 – параллелограмм по первому признаку параллелограмма, что и требовалось доказать.

Доказано.

Задачи на построение

Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.

Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков ( и ) и величина угла () (см. Рис. 8).

Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:

– анализ (план построения);

– построение (процесс построения);

– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);

– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).

Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:

Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).

В нем обратим внимание на треугольник , в котором две стороны ( и ) и угол () являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.

Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:

1. Построить  по углу  и прилежащим сторонам  и , что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.

2. Достроить треугольник до параллелограмма , проведя , , где точка  (см. Рис. 10).

Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.

Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:

Т.к. ,  по построению, то  – параллелограмм по определению.

Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:

В нем ,  и  – искомый параллелограмм.

Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.

В нашем случае мы можем указать следующие факты:

1. При любых фиксированных , ,  существует единственный  со сторонами ,  и углом  между ними.

2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .

Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых , , .

Построено.

Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию  по основаниям и боковой стороне , перпендикулярной к основаниям.

Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.

Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , ) и высота трапеции () (см. Рис. 11).

Строим отрезок  и от него проводим два перпендикулярных отрезка  и ,  равные по длине  и  соответственно. Концы этих отрезков  и  соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).

Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны  и , боковая сторона  перпендикулярна к основаниям.

Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный  и единственный прямоугольный треугольник  с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок  можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции , ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.

Построено.

Задача на трапецию

Пример 4. В трапеции   проведены биссектрисы углов при вершинах и . Найти угол между биссектрисами.

Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.

и  – биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их  и .

По свойству трапеции .

Рассмотрим : .

Ответ: .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели несколько примеров на параллелограмм и трапецию, а на следующем уроке мы более глубоко окунемся в эту тему и порешаем более сложные задачи.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. №  52 (г, д), 57 (г, з, и, л, м), 58 (г, е, л, м). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. Середины  и  параллельных сторон  и  параллелограмма  соединены прямыми с вершинами  и . Доказать, что эти прямые делят диагональ  на три равные части.

3. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции.

4. Построить  параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

5. Построить равнобедренную трапецию по большему основанию, боковой стороне и углу при большем основании.