10. Ромб и квадрат

Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

 – ромб

Доказать:

, .

Доказательство:

Рассмотрим :  – середина  (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник  – равнобедренный;  является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что: , то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

Квадрат и его свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

• все углы квадрата прямые;

• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

Задачи на ромб и квадрат

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

Дано:  – ромб; .

Найти:

а) , ;

б) , .

Решение:

а)  (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник  – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: , , , .

б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .

Ответ: и .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

Дано:  – ромб; ,  .

Найти:

Решение:

Рассмотрим треугольник , в нём: , . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Дано:  – ромб, .

Найти: ,

Решение:

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: , . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: , .

Ответ: и .

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

а) Дано:  – параллелограмм, .

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть  – ромб.

Доказано.

б) Дано:  – параллелограмм, ,  – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть,  – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано:  – ромб, .

Доказать:  – квадрат.

Доказательство:

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию:  (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что  – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 55(а, б), 56(а, б) Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна .

3. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как .

4. Доказать, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, – квадрат.