06. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, определение тригонометрических функций

Нарисуем прямоугольный треугольник , угол  прямой. , катет , , катет . Гипотенуза  (см. Рис. 1).

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему.

Определение:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему.

Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет .

Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.

Правила нахождения сторон прямоугольного треугольника

Правило нахождения катета через гипотенузу:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла.

Правило нахождения катета через второй катет:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего искомому катету угла или на котангенс прилежащего искомому катету угла.

Основные тригонометрические тождества

Напомним другие важные тригонометрические соотношения:

1.  – основное тригонометрическое тождество;

Доказательство:

Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

,

Согласно правилу нахождения гипотенузы:

Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Вспомнили основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла. Кроме того, мы решили несколько типовых задач.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: в равнобедренном треугольнике  с основанием проведена высота . Найдите угол , если угол .

2. Задание 2: один из углов прямоугольного треугольника , а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

3. Задание 3: в прямоугольном треугольнике  с прямым углом  внешний угол при вершине равен . , найдите длины и .