06. Средняя линия треугольника

Повторение второго признака подобия и свойства параллельности прямых

Повторим второй признак подобия треугольников.

Теорема 1. Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны.

.

Теорема 2. Свойство и признак параллельности прямых. Если прямые параллельны, то их соответственные углы равны; если соответственные углы равны, то прямые параллельны (см. Рис. 2).

.

Определение и теорема о средней линии треугольника

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника. На Рис. 3 средняя линия треугольника,основание.

Теорема 3. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине (Рис. 3).

.

Доказательство.

По условию известно, что.

Рассмотрими:

по второму признаку подобия треугольников. Следовательно,как соответственные, а по признаку параллельности прямых:. Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Кроме того, из подобия треугольниковможно выписать и отношение их третьих сторон. То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

Доказано.

Пример на использование теоремы о средней линии треугольника

Пример 1. В треугольникесередины сторон . Найти периметр (см. Рис. 4).

Решение.

Начнем с того, что проверим существование указанного в условии треугольника, для этого запишем неравенство треугольника для его наибольшей стороны:, неравенство выполнено, следовательно, такой треугольник существует.

Соединим середины сторон треугольникаи получим его средние линии, найдем их длины по теореме о средней линии:

.

Ответ. 10.

Теорема о пересечении медиан треугольника

Теорема 4. Теорема о пересечении медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которой делят друг друга в отношениисчитая от вершины (см. Рис. 5).

.

Доказательство. Обозначим на рисунке точки– середины сторон треугольника соответственно.

Рассмотрим две медианы и, они пересекаются в некоторой точке (см. Рис. 6).

Следует доказать, что они пересекаются, т.к. возможно, что медианы могут быть параллельны. В таком случае для них отрезокбыл бы секущей, а, но эти углы составляют некоторую часть от углов треугольника, а сумма его углов равна, значит, такое невозможно, и медианыипересекаются.

Проведем отрезок, он соединяет середины сторон треугольника, а следовательно, по определению является средней линией, а по теореме о средней линии. Эти два параллельных отрезка пересекаются секущимии, а из этого следует, чтоикак накрест лежащие. Из этого можно сделать вывод о том, чтопо первому признаку подобия треугольников. Коэффициент подобия этих треугольников по теореме о средней линии, а по определению подобных треугольников.

Доказано, что две медианы треугольника пересекают друг друга в отношении  2:1, считая от вершины, аналогично будем рассуждать и о третьей медиане. Поскольку в качестве пары медиан можно выбрать, например, медианыи, то и они точкой пересечения будут рассекать друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Однако не факт, что точки пересечения одной пары медиан и второй пары медиан совпадут. Предположим, что это не так, и. ТогдаРассмотрим дополнительный Рис. 7, на котором изобразим отдельно медиану.

Поскольку известно, что отрезоки точкой, и точкойделится в отношении 2:1, считая от вершины, то эти точки совпадают, т.к. у любого отрезка, очевидно, такая точка только одна, т.е.и все медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Таким образом, имеем, что, а из отношения отрезков первой пары рассмотренных медиан, из этого следует, что.

Доказано.

На следующем уроке мы рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «terver.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Стр. 72: № 61 (а-ж), 62 (а-ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. Углыи– внешние углы треугольника. Из вершиныпроведены перпендикулярыик биссектрисам угловисоответственно. Найдите отрезок, если периметр треугольникаравен 18 см.

3. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведенную к основанию, в отношении. Найдите основание треугольника.