05. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

Свойство биссектрисы угла, прямая и обратная теорема

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 1).

Задан угол , его биссектриса , точка лежит на биссектрисе.

Теорема:

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки до и до сторон угла равны.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки перпендикуляры к стороне и к стороне .

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу , а углы  и  равны, так как – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол , точка , такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое (см. Рис. 2).

Доказать, что точка лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки перпендикуляры к стороне и к стороне .

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу , катеты и равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка лежит на биссектрисе данного угла.

Прямую и обратную теоремы можно объединить.

Свойство серединного перпендикуляра, прямая и обратная теоремы

Теорема

Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Теорема

Биссектрисы , , треугольника  пересекаются в одной точке (см. Рис. 3). 

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы и . Они пересекаются, точка пересечения существует. Чтобы доказать это, предположим противное – пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая является секущей, и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон и . Если – перпендикуляр к , – перпендикуляр к , то длины этих перпендикуляров равны – . Также точка лежит на биссектрисе угла  и равноудалена от его сторон и , перпендикуляры и равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров и . Это равенство говорит о том, что точка равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре.

Задан отрезок , – серединный перпендикуляр. Это значит, что прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Теорема

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 4).

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет , а катеты и равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Заметим, что отрезок является общей хордой для многих окружностей.

Например, первая окружность с центром в точке и радиусом и ; вторая окружность с центром в точке , радиусом и .

Таким образом, мы доказали, что если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, она равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 5).

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если некоторая точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок , серединный перпендикуляр к нему , точка , равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 6).

Доказать, что точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как  по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка – середина основания , – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая также перпендикулярна . Мы знаем, что в точку можно провести единственный перпендикуляр к отрезку , значит, прямые и совпадают, отсюда следует, что точка принадлежит прямой , что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Теорема

Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Треугольник, как известно, состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, что они пересекаются в одной точке.

Теорема о пересечении серединных перпендикуляров в треугольнике

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: к стороне , к стороне , к стороне (см. Рис. 7).

Доказать, что перпендикуляры , и пересекаются в точке .

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра и , они пересекаются, точка пересечения существует. Докажем этот факт от противного – пусть перпендикуляры и параллельны. Тогда угол  развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки : она лежит на серединном перпендикуляре к стороне , значит, она равноудалена от концов отрезка : . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне , значит, . Получили следующие равенства:

Из данного равенства нас интересует тот факт, что , это значит, что точка равноудалена от концов отрезка , значит, она принадлежит серединному перпендикуляру к стороне . Таким образом, точка – точка пересечения трех серединных перпендикуляров треугольника , что и требовалось доказать.

Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, доказали некоторые теоремы. Далее мы рассмотрим свойства пересечения высот треугольника.

Список литературы

1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир С. М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎oldskola1.narod.ru».

Домашнее задание

1. Задание 1: биссектрисы внешних углов при вершинах и треугольника  пересекаются в точке . Докажите, что луч – биссектриса угла

2. Задание 2: биссектрисы и треугольника  пересекаются в точке . Найдите угол , если угол = .

3. Задание 3: биссектриса угла  равнобедренного треугольника  с основанием пересекает серединный перпендикуляр к стороне в точке . Найдите , если .