06. Свойства биссектрисы угла. Задачи

Некоторые важные определения

Треугольник является центральной фигурой всей геометрии, и в шутку говорят, что он неисчерпаем, как атом. Его свойства многочисленны, интересны, занимательны. Мы рассматриваем некоторые из этих свойств.

Любой треугольник – это прежде всего три угла и три отрезка (см. Рис. 1).

Рассмотрим угол с вершиной и сторонами и – угол .

В любом угле, в том числе и в угле треугольника, можно провести биссектрису – то есть прямую, которая делит угол пополам (см. Рис. 2).

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Рассмотрим точку , лежащую на биссектрисе угла.

Напомним, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Очевидно, что если мы возьмем точку, которая не лежит на биссектрисе, то расстояния от этой точки до сторон угла будут разные. Расстояние же от точки до сторон угла одинаковое.

Прямая и обратная теорема о свойстве биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки до и до сторон угла равны.

Задан угол , его биссектриса – , точка лежит на биссектрисе (см. Рис. 4).

Доказать, что .

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки перпендикуляры к стороне и к стороне .

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу , а углы  и  равны, так как – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол , точка , такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка лежит на биссектрисе угла (см. Рис. 5).

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки перпендикуляры к стороне и к стороне .

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу , катеты и равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка лежит на биссектрисе данного угла.

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют следующим образом:

Теорема

Точка равноудалена от сторон угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссектрисе этого угла.

Равноудаленность точек биссектрисы от сторон угла широко используется в различных задачах.

Решение задачи

Задача № 674 из учебника Атанасяна, геометрия, 7-9 класс:

Из точки биссектрисы неразвернутого угла  проведены перпендикуляры и к сторонам этого угла (см. Рис. 6). Докажите, что .

Дано: угол , биссектриса , перпендикуляры и к сторонам угла.

Доказать, что :

Доказательство:

Согласно прямой теореме, точка равноудалена от сторон угла, так как по условию она лежит на его биссектрисе. .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и  (см. Рис. 7). Они имеют общую гипотенузу , катеты и равны, как мы доказали ранее. Таким образом, два прямоугольных треугольника равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, отсюда равенство углов  и равенство других катетов .

Из равенства катетов и следует, что треугольник  равнобедренный, причем – его основание. Прямая является биссектрисой треугольника . Согласно свойству равнобедренного треугольника эта биссектриса одновременно является высотой, значит, прямые и пересекаются под прямым углом, что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели прямую и обратную теоремы о свойстве точки, лежащей на биссектрисе угла, обобщили их и решили задачу, применив различные геометрические факты, включая данную теорему.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎oldskola1.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 676-678, ст. 180.