07. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема о пересечении биссектрис треугольника

На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.

Теорема:

Биссектрисы , , треугольника  пересекаются в одной точке (рис. 1).

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы и . Они пересекаются, точка пересечения существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон и . Если – перпендикуляр к , – перпендикуляр к , то длины этих перпендикуляров равны – . Также точка лежит на биссектрисе угла  и равноудалена от его сторон и , перпендикуляры и равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров и . Это равенство говорит о том, что точка равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.

Задан отрезок . У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за . Таким образом, – серединный перпендикуляр.

Прямая теорема о серединном перпендикуляре

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что  (рис. 2). 

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет , а катеты и равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Обратная теорема о серединном перпендикуляре

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок , серединный перпендикуляр к нему , точка , равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как  по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка – середина основания , – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая также перпендикулярна . Мы знаем, что в точку можно провести единственный перпендикуляр к отрезку , значит прямые и совпадают, отсюда следует, что точка принадлежит прямой , что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Теорема о пересечении серединных перпендикуляров треугольника

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: к стороне , к стороне , к стороне .

Доказать, что перпендикуляры , и пересекаются в точке (рис. 4).

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра и , они пересекаются, точка пересечения существует. Докажем этот факт от противного – пусть перпендикуляры и параллельны. Тогда угол  развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки : она лежит на серединном перпендикуляре к стороне , значит, она равноудалена от концов отрезка : . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне , значит, . Получили следующие равенства:

Из данного равенства нас интересует тот факт, что , это значит, что точка равноудалена от концов отрезка , значит, она принадлежит серединному перпендикуляру к стороне . Таким образом, точка – точка пересечения трех серединных перпендикуляров треугольника , что и требовалось доказать.

Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели теорему о пересечении биссектрис треугольника. Сформулировали и доказали теорему о свойстве серединного перпендикуляра. Рассмотрели теорему о пересечении серединных перпендикуляров треугольника.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7–9, № 679–681, с. 180.

2. Задание 2 – докажите, что если в треугольнике совпадают точка пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров к сторонам, то он равносторонний;