04. Теорема о вписанном угле

Основные определения, определение вписанного угла

Напомним некоторые определения

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

Часть окружностиназывается дугой.

Дуга имеет угловое измерение.

Градусная мера дугиравна градусной мере соответствующего центрального угла:

Рассмотрим примеры:

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, уголназывается вписанным. Он опирается на дугу, эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

Доказательство:

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Доказать, что

Обозначим уголчерез α, тогда уголтакже будет равен α, так как треугольникравнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Уголявляется внешним для треугольника, внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дугиесть 2α. Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла(см. Рис. 6).

Доказать, что

Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим уголза α, и тогда дуга равна 2α (объяснение см. случай 1). Уголза β, тогда дугаравна 2β (объяснение см. случай 1). Вся дугаравна:

Угол, в свою очередь, равен

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Доказать, что

Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим уголчерез α, тогда дуга(объяснение см. случай 1). Уголобозначим через β, тогда дугаравна 2β (объяснение см. случай 1). Дугаявляется разностью большой дугии дуги:

Вписанный уголравенТаким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.

Следствия теоремы о вписанном угле

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Уголравен α, он вписанный и опирается на дугу, значит, дуга равна 2α. Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углыи, данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны α, как и угол

Таким образом, получаем:

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.

Теорема о хордах

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольникии (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углыи; вписанные углыиопираются на одну и ту же дугу. Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:, что и требовалось доказать.

Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели понятие вписанного угла и теорему о вписанном угле. В следующем уроке мы рассмотрим свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «samlib.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 653, № 655, № 656, ст. 173.