09. Точка пересечения высот треугольника

Теорема о пересечении высот треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра.

Задан треугольник , скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.

, , .

Доказать, что

Доказательство:

Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.

Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):

через вершину – прямую ,

через вершину – прямую ,

через вершину – прямую .

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства.

, значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник  является параллелограммом.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично , по построению. Четырехугольник – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка – середина отрезка , а значит, высота в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин и . Получим, что – середина отрезка , – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; – середина , – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике , , пересекутся в одной точке – в точке . Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника  пересекаются в одной точке , что и требовалось доказать.

Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т. к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).

Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.

Решение задачи

Задача

Задана окружность с центром в точке и диаметром . Точка вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую из точки (см. Рис. 4).

Решение:

Проведем прямую , получаем точку пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямую , получаем точку пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямые и , получим их точку пересечения (см. Рис. 5).

Доказать, что .

Доказательство:

Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:

.

Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Итак, , отсюда – высота треугольника . Также , – высота треугольника .

Две высоты треугольника пересекаются в точке , мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку . отсюда – высота треугольника, , что и требовалось доказать.

Выводы по уроку

Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Задание – доказать теорему о пересечении высот для прямоугольного треугольника.

2. Задание – доказать теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника.

3. Задание – задана окружность с центром и радиусом . Точка лежит внутри окружности. При помощи только линейки построить перпендикуляр из точки на прямую .