06. Трапеция

Трапеция и её виды

Определение

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

На Рис. 1. изображена произвольная трапеция. ,  – это боковые стороны (те, которые не параллельны). ,  – основания (параллельные стороны).

Если сравнивать трапецию с параллелограммом, то у параллелограмма две пары параллельных сторон. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции, так как в определении трапеции чётко сказано, что две стороны трапеции не параллельны.

Выделим некоторые виды трапеции (частные случаи):

• равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны;

• прямоугольная трапеция: один из углов равен  (из определения трапеции и свойства параллельных прямых следует, что два угла будут по ).

Средняя линия трапеции и её свойства

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

На Рис. 2. изображена трапеция со средней линией .

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.

Доказательство:

Пусть середина боковой стороны  трапеции  – точка . Проведём через эту точку прямую, параллельную основаниям. Эта прямая пересечёт вторую боковую сторону трапеции  в точке .

По построению: . По теореме Фалеса из этого следует: . Значит,  – середина стороны . Значит,  – средняя линия.

Доказано.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции: .

Доказательство:

Проведём среднюю линию трапеции и одну из диагоналей: например,  (см. Рис. 3).

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как равны отрезки: . Значит, отрезок  является средней линией треугольника , а отрезок  – средней линией треугольника .

Значит, , .

Примечание: это следует из свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Первая часть этого свойства доказывается аналогично с доказательством первого свойства средней линии трапеции, а вторую часть можно доказать (к примеру, для средней линии  треугольника ), проведя через точку  прямую, параллельную . Из теоремы Фалеса будет следовать, что эта прямая будет являться средней линией, а образованный четырёхугольник – параллелограммом (две пары попарно параллельных сторон). Отсюда уже несложно получить требуемое свойство.

Получаем: .

Доказано.

Рассмотрим теперь подробнее основные виды трапеции и их свойства.

Признаки равнобедренной трапеции

Напомним, что равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны. Рассмотрим свойства боковой трапеции.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Выполним стандартное дополнительное построение, которое очень часто используется при решении различных задач на трапецию: проведём прямую  параллельно боковой стороне  (см. Рис. 4).

 – параллелограмм.

Отсюда следует, что: . Значит, треугольник  – равнобедренный. А значит, углы при его основании равны, то есть:  (последние два угла равны, как соответственные при параллельных прямых ).

Доказано.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства воспользуемся предыдущим. Действительно, рассмотрим треугольники:  и  (см. Рис. 5.).

 (по первому признаку равенства треугольников: две стороны и угол между ними).

Из этого равенства сразу следует, что: .

Доказано.

Оказывается, что, как и в случае с параллелограммом, у равнобедренной трапеции свойства одновременно являются и признаками. Сформулируем и докажем эти признаки.

Признаки равнобедренной трапеции

1. Дано:  – трапеция; .

Доказать: .

Доказательство:

Доказательство данного признака абсолютно аналогично доказательству соответствующего свойства. Проведём в трапеции  прямую  параллельно стороне  (см. Рис. 6).

 – параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

 (соответственные углы при параллельных прямых). Откуда, пользуясь условием, получаем:  – равнобедренный

(равны углы при основании). Значит:  (у параллелограмма противоположные стороны равны).

Доказано.

2. Дано:  – трапеция; .

Доказать: .

Доказательство:

Выполним ещё одно стандартное дополнительное построение при решении задач с трапецией: проведём через вершину  прямую  параллельно диагонали  (см. Рис. 7).

 – параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

 (соответственные углы при параллельных прямых). Кроме того,  – равнобедренный ( – по условию;  – по свойству параллелограмма). А значит: .

Доказано.

Примеры задач

Рассмотрим несколько примеров решения задач с трапецией.

Пример 1.

Дано:  – трапеция; , .

Найти: , - ?

Решение:

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна  – свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых. Из этого факта можно получить два равенства:

Ответ: , .

Пример 2.

Дано:  – трапеция; , . , .

Найти: - ?

Решение:

Проведём высоту , . Получаем четырёхугольник , в котором противоположные стороны попарно параллельны, а два углы равны по . Значит,  – параллелограмм, а точнее, прямоугольник.

Из этого следует, что . Откуда: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём один из острых углов, по условию, равен . Значит, второй равен , то есть: . Воспользуемся свойством катета, лежащего против угла : он в два раза меньше гипотенузы.

.

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятие трапеции и её свойства, изучили виды трапеции, а также решили несколько примеров типовых задач.

На следующих уроках мы продолжим изучать различные виды четырёхугольников и их свойства, а также решать различные задачи.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 57 (а,б), 58 (а,б) Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. –  М.: Просвещение, 2011.

2. Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла острые? В случае положительного ответа нарисуйте рисунок.

3. Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как ?

4. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки  и . Найти основания трапеции и её среднюю линию.

5. На одной из боковых сторон трапеции отмечена середина, через которую проведён отрезок параллельно второй боковой стороне, до пересечения с большим основанием трапеции. Докажите, что длина этого отрезка в два раза меньше длины параллельной ему боковой стороны.