08. Треугольник и его окружности

Треугольник и описанная окружность

Треугольник – это прежде всего три отрезка и три угла, в связи с этим напомним, что вся теория вписанных и описанных окружностей для треугольника основана на свойствах серединного перпендикуляра и биссектрисы.

В треугольнике три отрезка, а значит, три серединных перпендикуляра. Рассмотрим заданный треугольник (см. Рис. 1) и напомним стандартные обозначения.

Задан отрезок , его середина , – серединный перпендикуляр. Это значит, что прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Теорема

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и  (см. Рис. 2). Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет , а катеты и равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

Задан треугольник , около него описана окружность с центром (см. Рис. 3). Ее радиус –.

Для вычисления данного радиуса пользуются теоремой синусов:

Рассмотрим выражение . Отсюда, если треугольник задан стороной и синусом противолежащего угла, то мы можем найти для него радиус описанной окружности, но этот треугольник, очевидно, не является полностью заданным, то есть таких треугольников множество. То есть получается, что треугольника еще нет, а окружность, описанная около него, уже есть. Разгадка данного недоразумения кроется в теореме о вписанном в окружность угле.

Рассмотрим простейшую геометрическую конструкцию – окружность и точку на окружности, изучив которую досконально, можно избежать подобных недоразумений (см. Рис. 4).

Из точки на окружности исходит бесконечно много хорд и единственная касательная. Нас интересуют точка и две хорды. Проведя две хорды, мы получаем вписанный в окружность треугольник. В этом треугольнике заданы угол  и противолежащая ему сторона .

Треугольник и вписанная окружность

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

Градусная мера дуги соответствует градусной мере центрального угла: .

Из рассмотренной теоремы имеем важное следствие.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 5).

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Итак, мы имеем бесчисленное множество треугольников, имеющих одинаковый угол и равную сторону, ему противолежащую, то есть они имеют одинаковый радиус описанной окружности.

Рассмотрим точку на окружности и треугольник  (см. Рис. 6). Очевидно, что он имеет такой же радиус описанной окружности, что и треугольник , и такую же сторону , но каков его угол

,

Треугольников со стороной и углом, ей противолежащим, , также бесчисленное множество.

Существует также другая формула для нахождения радиуса описанной окружности:

Перейдем к окружности, вписанной в треугольник. Каждый треугольник имеет единственную вписанную окружность. Вся теория вписанной окружности базируется на свойстве биссектрисы угла.

Теорема

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла (см. Рис. 7).

Задан угол , его биссектриса , точка лежит на биссектрисе.

Доказать, что расстояния от точки до и до сторон угла равны: .

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки перпендикуляры к стороне и к стороне .

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу , а углы  и  равны, так как – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Теорема

Биссектрисы , , треугольника  пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Точка – пересечение биссектрис треугольника, значит, она равноудалена от сторон трех углов – от трех сторон треугольника: .

Для расчета радиуса вписанной окружности используют следующую формулу:

,

Еще одна важная геометрическая особенность – отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: ; ;

Определим связь между сторонами треугольника и касательными.

Согласно стандартным обозначениям: , ,

Решение задачи

Задача : в треугольнике известны полупериметр и длина стороны . Найти длину касательной, проведенной из вершины – , обозначенную за .

Очевидно, что треугольник задан не полностью, и таких треугольников много, но, оказывается, некоторые элементы у них общие.

Ключ к решению задачи дает связь между сторонами треугольника и касательными:

Сложим все три уравнения системы:

В левой части уравнения мы получили периметр треугольника :

Сократим на два:

Получили важный факт: полупериметр есть сумма трех различных касательных.

, отсюда ,

Можно самостоятельно выразить аналогично отрезки касательных у через сторону и через сторону :

,

Треугольник и вневписанная окружность

У треугольника, кроме описанной и вписанной окружностей, есть еще одна окружность. Рассмотрим треугольник  (см. Рис. 9). Продлим его стороны и . Построим биссектрисы внешних углов при вершине и . Точки на этих биссектрисах равноудалены каждая от сторон своего угла, биссектрисы пересекаются в точке – центр вневписанной окружности, лежащей против вершины .

Центр данной окружности равноудален от сторон угла , значит, она принудительно лежит на его биссектрисе.

Чтобы найти радиус вневписанной окружности, нужно воспользоваться тем фактом, что касательные, проведенные из одной точки, равны: ; ;

Теперь можем найти искомый радиус из прямоугольного треугольника  по соотношениям сторон и углов – катет равен произведению тангенса противолежащего ему угла и второго катета:

Итак, мы рассмотрели вписанную, описанную и вневписанную окружности треугольника. Мы вывели формулы для нахождения их радиусов, рассмотрели важные свойства и теоремы, некоторые доказали.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «terver.ru»

2. Интернет-портал «terver.ru»

Домашнее задание

1. Задание : в треугольнике угол  равен . Пусть – центр вписанной в этот треугольник окружности, и – центры двух вневписанных окружностей ( касается стороны , – стороны ). Найдите углы , , .

2. Задание : докажите, что в остроугольном треугольнике центр описанной окружности находится внутри треугольника, а в тупоугольном – вне его.

3. Задание : найдите углы треугольника, если его стороны видны из центра описанной окружности под углами: а) , , ; б) , , .