03. Центральный угол. Градусная мера дуги окружности

Основные определения

Напомним определение окружности. Сейчас мы дадим определение с ошибкой, задача – найти эту ошибку.

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество точек плоскости, удаленных от одной точки – центра окружности О – на расстояние R.

Очевидно, что ошибка – пропущенное важное слово всех, то есть окружность – множество всех точек, равноудаленных от ее центра.

Например, вершины A, B, C, D квадрата – это множество точек, равноудаленных от центра квадрата, но это не есть окружность (рис. 1).

Вспомним важные элементы окружности:

Дуга;

Угол– центральный угол;

Точка О – центр окружности.

Имеем дугу и соответствующий центральный угол (рис. 2).

Понятие градусной меры дуги

Рассмотрим понятие градусной меры дуги.

Задана окружность с центром О. Дуга ALB не больше полуокружности; дуга AМB больше полуокружности.

Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла –.

Для дуги, большей полуокружности, градусной мерой будет следующая разность:(рис. 3).

Две дугиивместе составляют целую окружность, запишем это:

Таким образом, градусная мера окружности – это.

Решение примеров

Задана окружность с центром О, диаметром АВ, радиусом, перпендикулярным диаметру, ОС, радиусом ОМ, который составляет с ОС угол.

Дуга– пол-окружности;

Дуга– четверть окружности, уголпрямой;

Дуга;

Дугасостоит из двух дуг, ее градусная мера равна сумме градусных мер двух дуг:;

Дугабольше полуокружности, значит, ее градусная мера – это разность:.

Каждая дуга стягивается своей хордой, во многих задачах требуется найти длину этой хорды.

Пример:

Радиус окружности с центром О – 16 см. Найдите хорду АВ, если:

а)

б)

в)

Решение:

Итак, в случае а. Треугольникравнобедренный, стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности. Углы при основании равны и сумма их равна, значит, на каждый из углов приходится, таким образом, в треугольникевсе углы составляют, а значит, этот треугольник равносторонний и сторона АВ равна также радиусу окружности, то есть 16 см (рис. 5).

В случае б центральный уголсоставляет. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольники применим теорему Пифагора, чтобы найти его гипотенузу:. Нашлисм (рис. 6).

В случае в, значит, в данном случае АВ является диаметром окружности. Мы знаем, что диаметр равен двум радиусам, радиус нам известен. Таким образом,см (рис. 7).

Выводы по уроку

Итак, мы узнали, что такое центральный угол, познакомились с понятием градусной меры дуги окружности. На следующем уроке мы изучим вписанный угол и теорему о нем.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «raal100.narod.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7–9, № 649, № 651, № 652, с. 73.