10. Вписанная окружность

Опорные определения

Начнем с напоминания важных опорных фактов, и первый факт – это касание прямой и окружности.

Задана окружность с центром и радиусом (см. Рис. 1). – общая точка прямой и окружности. Если такая точка единственная, то прямая – касательная к окружности. Радиус , проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной .

Справедливо обратное: если – общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой, то общая точка единственная, и прямая – касательная.

Рассмотрим касание окружности сторонами угла (см. Рис. 2).

Помним, что биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Точка лежит на биссектрисе: перпендикуляр к прямой а, – к прямой , .

Построим окружность радиусом .

Утверждаем, что окружность касается прямой а, т.к. – общая точка прямой и окружности, и она единственная (радиус перпендикулярен прямой). Аналогично прямая касается окружности.

Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.

Многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон, мы готовы дать определение вписанной в него окружности.

Определение вписанной окружности

Окружность называется вписанной в многоугольник, если касается всех его сторон.

Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, рассмотрим пример – окружность вписана в выпуклый четырехугольник:

Как получить центр и радиус вписанной окружности?

Мы знаем, что точка – центр, лежит на биссектрисе угла , вписана в угол , аналогично точка лежит на биссектрисе каждого угла и вписана в каждый угол.

Таким образом, все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке .

Строим биссектрисы, на их пересечении получаем центр окружности. Из точки опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки , , , . Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных – , , , (см. Рис. 3).

Теоремы о четырехугольниках, описанных около окружности

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Дано: окружность с центром вписана в четырехугольник . Четырехугольник описан около окружности. Таким образом, описанный четырехугольник – это такой четырехугольник, в который можно вписать окружность (см. Рис. 4).

Доказать: .

Доказательство:

Запишем равенство через отрезки касательных:

;

;

;

;

;

Раскроем скобки:

;

Таким образом, суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны, что и требовалось доказать.

Итак, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.

Это важная теорема, так как центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Отсюда, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, его биссектрисы пересекутся в одной точке.

Данную теорему мы доказывать не будем.

Прямую и обратную теоремы можно объединить.

Теорема

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Примеры четырехугольников, в которые можно и нельзя вписать окружность

Приведем конкретные примеры четырехугольников, в которые можно вписать окружность и в которые нельзя вписать окружность.

Ромб

У ромба все стороны равны, отсюда суммы противоположных сторон равны, значит, в ромб можно вписать окружность (см. Рис. 5). Кроме того, мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Значит, каждая диагональ – это биссектриса, биссектрисы всех четырех углов пересеклись в одной точке – точке . – центр вписанной окружности.

Квадрат

Квадрат – частный случай ромба, в него также можно вписать окружность (см. Рис. 6).

Прямоугольник

В прямоугольник нельзя вписать окружность (см. Рис. 7), это очевидно из рисунка – суммы противоположных сторон не равны, т.к. противоположные стороны равны между собой, а соседние не равны:

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну (см. Рис. 8).

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке . Проведем биссектрисы , , . Точка их пересечения равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла  – и , так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов  и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки на стороны треугольника – на сторону , – на , – на . Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки до сторон треугольника, и они равны:

.

Обозначим расстояние от точки до сторон треугольника за и рассмотрим окружность с центром в точке и радиусом .

Окружность касается прямой , т.к. имеет с ней общую точку , и радиус , проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой . Аналогично окружность касается прямых и . Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Докажем, что данная вписанная окружность единственная. Если бы была вторая окружность, ее центр был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении всех биссектрис. Но все биссектрисы пересекаются в единственной точке – точке , таким образом, и вписанная окружность в треугольник единственная.

Выводы по уроку

Итак, мы ознакомились с понятием вписанной окружности и доказали некоторые важные теоремы. В следующем уроке мы рассмотрим описанную окружность.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «mschool.kubsu.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1 – в треугольник  вписана окружность с центром . Найдите угол , если угол .

2. Задание 2 – на сторонах и треугольника , описанного около окружности с центром , отмечены точки и таким образом, что , . Доказать, что .

3. Задание 3 – найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, периметр которого 24 см, а гипотенуза 10 см.