13. Задачи из учебника А. Д. Александрова

Решение задачи № 1

Дано:

– прямоугольный; гипотенуза равна , один катет в раза больше другого. Найти катеты (рис. 1).

Решение.

. Обозначим, что , .

По теореме Пифагора:

;

;

;

– .

.

Ответ: ; .

Решение задачи № 2

Найти медианы прямоугольного треугольниками с катетами и (рис. 2).

; .

Решение.

Найдем гипотенузу .

Стороны : , , .

Они в раза больше, чем стороны египетского треугольника: , , .

Заметим более общий факт. Если имеем прямоугольный треугольник со сторонами , , и каждую сторону умножаем на коэффициент , то треугольник со сторонами , , будет прямоугольным. Этим часто пользуются при составлении задач.

Начнем с медианы, проведенной с угла . По свойствам медианы , .

Мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (рис. 3).

Если вы хотите узнать, как доказывается этот факт, то вы можете пройти по этой ссылке.

Таким образом, .

Проведем медиану . Воспользуемся теоремой Пифагора для (рис. 4).

Проведем медиану (рис. 5).

– прямоугольный. , .

Ответ: ; ; .

Решение задачи № 3

Дан прямоугольник . Точка внутри прямоугольника. , , . Найти (рис. 6).

Решение.

Проведем через точку две прямые, параллельные сторонам прямоугольника. В итоге получили маленьких прямоугольника и много прямоугольных треугольников (рис. 7).

Запишем теорему Пифагора для этих прямоугольных треугольников.

Введем обозначения. ; ; ; (рис. 8).

Отметим, что если маленькие четырехугольники – прямоугольники, то .

Для по теореме Пифагора .

Из

:

: .

Нам нужно выразить через , , . Для этого рассмотрим и , и равенства. Сложив их, получим равные выражения.

Ответ:

Обратим внимание, что расстояние , , (расстояние до трех вершин прямоугольника) однозначно прямоугольник не определяют. То есть таких прямоугольников существует бесконечно много, хотя мы и смогли вычислить четвертое расстояние . Точку можно брать не внутри прямоугольника, а снаружи. А соотношение, которое вывели в этой задаче, останется прежним.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9.

3. Александров А.Д., Вернер А.Л. и др. Учебное пособие для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2002.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎»

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎»

Домашнее задание

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма – см, а одна из его сторон на см меньше другой.

2. Дан прямоугольник . Точка снаружи прямоугольника. , , . Доказать, что .