05. Решение логических задач. Практика

Текстовые задачи

Практически во всех сферах жизни мы используем логику, иногда даже сами об этом не зная. Человек пытается мыслить логически на интуитивном уровне. Подключая логический аппарат, мы действуем в бытовых ситуациях, в творческих процессах, используем его в экономике и бизнесе, гуманитарных и точных науках. Кому-то это удаётся легче, кому-то нужно приложить больше усилий. Но так или иначе логика — полезнейший инструмент, который необходимо развивать.

Задача № 1.

Автомобильные гонки в самом разгаре. Гоночный болид «Ракета» после удачного вхождения в поворот обошёл болид под названием «Стрела», который шёл третьим. На какой позиции оказался болид «Ракета»?

Решение.

Чтобы решить эту задачу, давайте подключим воображение. Гоночный болид «Ракета» обошёл болид «Стрела», который шёл третьим. Рассуждаем логически: «Стрела» занимает на трассе третью позицию, за ним едет «Ракета» и спустя какое-то время обгоняет «Стрелу». Какую позицию теперь занимает обогнавший болид? Верно, третью. А «Стрела» сдвигается на четвёртое место.

Ответ: болид «Ракета оказался на третьей позиции.

Задача № 2.

В коробке находится 10 шариков — 5 красных и 5 синих. Определите, какое минимальное количество шариков необходимо достать не глядя, чтобы среди них точно оказалось 2 красных шара.

Решение.

Достаём из коробки первый шарик. Он может быть красным или синим. Предположим, вы достали синий. В коробке осталось 5 красных и 4 синих. Делаем вторую попытку — и снова синий шарик. Третья попытка — третий синий шарик. Все 5 красных шариков по-прежнему в коробке.

И может получиться так, что в четвёртый и пятый раз мы снова достанем синие шарики. Возможно, так не получится, но вероятность есть.

С понятием вероятности вы подробнее познакомитесь на уроках математики. А пока рассуждаем дальше: мы наугад достали пять шариков, и все они оказались синими. А нам нужен результат, где обязательно присутствуют два красных. Поэтому мы достаем шестой и седьмой шарики — они обязательно красные, потому что в коробке остались только красные шарики.

Конечно, могло случиться так, что мы за два подхода достали бы два красных шарика. Но в подобных задачах важно рассмотреть все возможные случаи. В особенности — самый неудачный, когда нам максимально не везёт. Особенно важным в такого рода задачах является слово «точно» в условии. Точно (наверняка) означает «с вероятностью 100 %», то есть обязательно только так!

Ответ: 7.

Задача № 3.

Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы точно выпало два подряд орла?

Решение.

Правильный ответ — нисколько. Действительно, у нас может выпадать так: «орёл — решка — орёл — решка» и так далее. Самый неудачный случай.

На практике такое вряд ли возможно, но мы рассматриваем идеальную, теоретическую модель, в которой такой шанс (вероятность) существует. Более того, даже если переформулировать вопрос на «точно выпал орёл», ответ не изменится. Ведь теоретически возможна ситуация, когда любое количество раз подряд выпадет решка. Да, чем больше бросков, тем меньше такая вероятность, она будет приближаться к нулю, к невозможной ситуации. Но всё-таки не будет ровно ноль, что значит, что всё же это может случиться.

Решим задачу, используя уже известные нам математические инструменты.

Задача № 4.

Ваня накопил на свою заветную мечту — футбольный мяч. Но подумал, что будет здорово поделиться накоплениями с братом. Ваня подсчитал, что если он разделит деньги поровну, то на мяч ему не хватит, поэтому оставил себе на 50 рублей больше, чем отдал брату. Сколько Ваня оставил себе, если в копилке было 800 рублей?

Решение.

Любую такую задачу легко решить, если перевести её условие с текстового на математический язык. Дальше останется техника — решить уравнение (систему уравнений, неравенство). Этой технике мы учимся на уроках математики.

Перепишем условие задачи на математическом языке.

У Вани было 800 рублей. Если разделить деньги поровну (800 : 2 = 400) по 400 рублей, то на мяч не хватит. Значит, мяч стоит больше 400 рублей: М > 400. Позже выясним, что эта информация избыточна и нам не пригодится, но в другой задаче может оказаться наоборот.

Ваня оставил себе на 50 рублей больше, чем брату: Ваня = 50 + Брат. Сократим запись: В = 50 + Б.

Мы знаем, что Ваня разделил все деньги из копилки: В + Б = 800.

Получили систему из двух уравнений:

Мы пока системы уравнений решать не умеем, но в данной ситуации всё довольно легко. Если у Вани и у брата вместе 800 рублей, то у брата будет 800 рублей минус то, что взял Ваня, то есть Б = 800 – В.

Подставим в первое уравнение В = 50 + Б вместо Б правую часть полученного уравнения: В = 50 + 800 – В, откуда В = 850 – В.

Если собрать неизвестные в левой части уравнения, то получим:

В + В = 850,

В + В – это 2В, значит, 2В = 850. Тогда В = 425.

Зная, сколько денег оставил себе Ваня, мы легко можем найти, сколько он отдал брату, ведь всего у них 800 рублей на двоих: Б = 800 – В = 375.

Ответ: Ваня — 425 рублей, брат — 375 рублей.

Данную задачу можно решить и по-другому.

Второй способ.

У Вани и брата в сумме 800 рублей. У Вани на 50 рублей больше.

Предположим, что Ваня отдал лишнюю сумму кому-то, тогда у Вани и брата будет поровну, а в сумме у них будет 800 – 50 = 750 рублей. Тогда очевидно, что у Вани и брата будет по 750 : 2 = 375 рублей. Вернём Ване его 50 рублей, получим 425 и 375 рублей.

Второй способ хорош только для задач такого типа, а первый способ (переписывание каждой фразы условия на математическом языке) — универсальный. С его помощью мы будем решать и более сложные задачи.

Решение задач табличным методом

Рассмотрим теперь задачи, которые можно решать, используя другие методы. 

Задача № 5.

В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Барсукова, Смирнова и Ветрова, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1. Смирнов самый высокий.

2. Играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте.

3. Играющие на скрипке и флейте и Барсуков любят пиццу.

4. Когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смирнов мирит их.

5. Барсуков не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение.

На первый взгляд кажется, что логики в задаче совершенно нет. Но давайте вспомним способ решения, который позволяет упорядочить информацию и привести к ответу. Это таблица. Строки таблицы — имена музыкантов, столбцы — инструменты. Будем заполнять ячейки таблицы в соответствии с суждениями в условии.

Смирнов самый высокий (1). Можем метку (­) поставить напротив его имени.

Играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте (2).

Как использовать эту информацию? Логично предположить, что раз тот, кто играет на скрипке ниже кого-то, то это не может быть Смирнов. Поставим минус в нужной ячейке. Следующее суждение: «Играющие на скрипке и флейте и Барсуков любят пиццу» (3). Отсюда можно сделать вывод, что Барсуков не скрипач и не флейтист. Отметим это в таблице.

Мы уже можем точно сказать, кто скрипач. Это Ветров.

Ещё мы знаем, что, когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смирнов мирит их (4). Это значит, что Смирнов на альте и трубе не играет. Отмечаем минусами этот вывод в таблице.

Следующий факт: «Барсуков не умеет играть ни на трубе, ни на гобое» (5). Отмечаем и видим, что для Барсукова остались только 2 инструмента, а в условии задачи сказано, что каждый музыкант владеет двумя инструментами. Значит, инструменты Барсукова — альт и кларнет.

Тогда в столбцах, соответствующих этим инструментам, проставим минусы в знак того, что играть на них больше не умеет никто. Видим, что для Смирнова остаются флейта и гобой. А для Ветрова — скрипка и труба.

Табл. 1. Таблица решения

Графические задачи

Преобразовать можно не только текстовую, но и графическую информацию.

Задача № 6.

Решение.

Первый шаг — выяснить, какое число представляет собой медведь. Вспоминаем, что сначала выполняются действия в скобках: 2 + 1 = 3; 7 – 3 = 4. Медведь — это 4.

Как поступить со второй и третьей строчками, пока неясно, зато из четвёртой строки мы можем узнать, какое число стоит за тюленем. Медведь + 10, то есть 4 + 10 = 14. Тюлень — это 14.

Вернёмся ко второй строке. 2 пингвина — это 14. Тогда один пингвин — это 7. Поэтому в третьей строке: 14 – 3 = 11. То есть чайка — это 11.

Подставим отгаданные числа в последнюю строку. 11 + 7 – 4 = 14.

Ответ: 14.

Рассмотрим ещё одну похожую задачу. По примеру предыдущей задачи попробуйте отыскать ответ самостоятельно. Только будьте внимательны! В задаче есть подвох.

Задача № 7.

Решение.

Три одинаковые груши — это 30. Тогда логичным будет заключение, что одна груша — это 10.

Груша и две веточки по 3 вишни — это 16. Так как груша обозначает 10, получается, что две веточки вишни — это 6, то есть веточка вишни — это 3, а одна вишенка 3 : 3 = 1.

Разность веточки из трёх вишен и двух половинок яблока равна 1. Следовательно, половина яблока — это 1.

Последнее выражение — это сумма половинки яблока, груши и веточки из двух вишен: 1 + 10 + 2 × 1 = 13.

Ответ: 13.

Такие задачи можно решать с помощью перевода на математический язык, главное — не бояться количества неизвестных.

Г + Г + Г = 30

Г + 3В + 3В =16

3В – Я = 1

Я : 2 + Г + 2В = ?

Дальше остаётся только простая техника. На уроках математики мы с ней подробнее познакомимся.

Задача № 8.

Даны три уравнения, из которых нужно найти, какие числа зашифрованы под автомобилем, велосипедом и самокатом.

Решение.

Для начала сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правую часть — с правой. Обозначим автомобиль, велосипед и самокат переменными А, В и С соответственно. Получим: А + В + С + 2А – В + 3С = 9 + 13. Упростив это выражение, получим, что 3А + 4С = 22.

Таким образом, сложив 2 уравнения, мы избавились от одной неизвестной величины — велосипеда. Проделаем то же самое для другой пары уравнений, например второго и третьего. Но, посмотрев на эту пару, мы видим, что при сложении или вычитании ни одна из переменных не уничтожается. Поэтому проведём еще одно промежуточное действие — домножим второе уравнение на 2. На это ещё можно посмотреть так: мы 2 раза пишем второе уравнение и складываем: левую часть с левой, правую — с правой. Зачем это нужно? Мы хотим получить ещё одно уравнение, в котором не будет велосипедов. Если поработать со вторым выражением таким образом, а потом прибавить его к третьему, то можно избавиться от велосипедов.

После умножения получается: 4А – 2В + 6С = 26.

После сложения с третьим уравнением получаем: 9А + 5С = 38.

Теперь мы получили вместо трёх уравнений два, а вместо трёх неизвестных переменных — две:

3А + 4С = 22.

9А + 5С = 38.

Используем изученную технику снова: чтобы избавиться от автомобилей, умножим первое выражение на 3, а после вычтем из него второе: 9А + 12С = 66.

После вычитания: 7С = 28. Отсюда один самокат — это 4.

Как узнать, что за числа скрываются за остальными картинками? Всё очень просто, взгляните на эту строку: 9А + 5С = 38. Подставим вместо самоката полученное значение:

9А + 20 = 38.

9А = 38 – 20.

9А = 18.

Значит, автомобиль — 2.

Последний шаг — это узнать число, скрывающееся за велосипедом. Для этого возьмём самое первое выражение: А + В + С = 9.

Вместо А (автомобиля) и С (самоката) подставим 2 и 4, получим:

2 + В + 4 = 9.

В + 6 = 9.

Тогда велосипед — это 3.

Ответ: автомобиль = 2, велосипед = 3, самокат = 4.

Список литературы

Босова Л. Л., Босова А. Ю. Информатика. 5-й класс: учебник. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019.

Домашнее задание

1. С какими методами решения логических задач вы знакомы?

2. Какой случай следует обязательно рассмотреть при решении задачи, в которой спрашивается о количестве попыток, не глядя, достать шар определённого цвета из коробки с шарами разного цвета?

3. В каком случае решение логической задачи удобно представить в виде таблицы?

4. Можно ли графическую задачу представить в виде математических формул?

5. Какой приём можно использовать, чтобы решить логическую задачу, если после перевода её на язык математики, получилось несколько уравнений с тремя неизвестными?