03. Двоичное кодирование

На данном уроке рассматриваются формы представления информации, объясняется различие непрерывного и дискретного сигналов, приводятся примеры их использования в повседневной жизни и обучении. Посмотрев урок, вы поймёте, почему для представления информации, которая хранится и обрабатывается компьютером, используется двоичное кодирование и почему двоичное кодирование считается универсальным. Вы узнаете об особенностях равномерных и неравномерных двоичных кодов.

Непрерывная и дискретная формы представления информации. Дискретизация

Представьте, что вы хотите пригласить друзей на свой день рождения. Это можно сделать различными способами. Например, написать приглашения на красивых открытках и вручить каждому другу.

Второй вариант. Вы можете отправить приглашение в мессенджере лично или с помощью групповой рассылки.

Третий вариант. Вы можете пригласить друзей, просто позвонив им или озвучив приглашение при личной встрече.

Распространение информации всегда связано с носителем. Во всех случаях для передачи информации вам потребуется её носитель.

В первом случае — бумага, во втором — память электронного устройства (компьютера, смартфона), в третьем — звуки (можно сказать, что носителем информации будут звуковые волны — колебания молекул воздуха).

Бумага, память компьютера, звуковые волны — всё это примеры носителей информации.

Вернёмся к примеру с приглашением. Подписывая открытку, вы передаёте информацию в виде знаков алфавита. То есть основным способом передачи являются знаки.

Разговаривая с другом, вы передаёте ему информацию с помощью звуков. Также вы можете передавать информацию с помощью, например, света. Можно с помощью азбуки Морзе и фонарика закодировать сообщение и передать его на расстоянии (рис. 2).

В данных примерах основным способом передачи информации является сигнал. Сигнал в информатике — это форма передачи информации, не требующая сохранения на бумаге, жёстком диске компьютера или на другом носителе информации.

Рассмотрим пример. На рисунке 3 показан график изменения температуры за сутки. Температура любого объекта — это величина, которая существует в любой момент времени независимо от того, измеряем мы её или нет. Таким образом, температура представляет собой непрерывную во времени величину.

Если рассмотреть этот график более подробно, то можно увидеть, что температура изменялась в диапазоне от до градусов. Мы видим, что самая высокая температура была между и часами.

На графике легко проследить, как значения температуры изменялись во времени. Однако здесь следует обращать внимание на погрешность измерительного прибора. Если мы видим на графике непрерывную линию, то это совершенно не означает, что мы могли получить с помощью термометра абсолютно любое число в полученном диапазоне. Например, если термометр измеряет с погрешностью градуса, то мы не сможем измерить с его помощью температуру градуса: получим либо , либо . В реальности же температура может принимать абсолютно любые значения в диапазоне от градуса до сотен миллионов градусов, поскольку сама по себе величина температуры обозначает меру теплового состояния объекта. Реальная температура вещества не зависит от того, каким прибором мы её измеряем. При этом мы можем измерить температуру вещества абсолютно в любой момент, что делает эту величину аналоговой, а сигнал, который передаёт значения этой величины, также будет аналоговым. Можно также сказать, что аналоговый сигнал существует даже в те моменты времени, когда мы не можем его измерить даже самым точным прибором.

Аналоговый (непрерывный) сигнал — сигнал, который принимает бесконечное множество значений из некоторого диапазона. Между значениями, которые он принимает, нет разрывов.

К сожалению, мы не можем измерять аналоговый сигнал абсолютно в любой момент времени, поэтому существует риск пропустить важное отклонение значения аналоговой величины. Но мы можем попробовать сократить интервал измерений, тем самым увеличивая их точность.

Составим таблицу и представим значения температуры в числовой форме. Занесём значения, измеренные каждые часа. При составлении таблицы значений температуры мы пересчитали значения: каждому значению сигнала поставили в соответствие число. То есть каждому моменту времени поставлена в соответствие температура воздуха.

Легко заметить, что в данной таблице самое высокое значение температуры не нашло отражения. И таблица здесь даёт не совсем полную и точную картину.

Рассмотрим другой пример. Допустим, для передачи друг другу информации мы используем хлопки в ладоши. Один хлопок может означать согласие с высказыванием собеседника, а двойной — несогласие. В таком случае мы можем сказать, что такая форма передачи информации содержит ограниченный набор возможных значений: первое значение «да», второе — «нет». Если сигнал принимает конечное число значений и они могут быть пронумерованы, то его называют дискретным.

Дискретный (цифровой) сигнал — сигнал, имеющий конечный набор пронумерованных значений.

При рассмотрении аналоговых и дискретных сигналов важно понимать, что мы можем уточнять значения аналогового сигнала, совершенствуя измерительные приборы. Это значит, что можно уменьшать периоды между измерениями, а можно более точно измерять само значение сигнала. Дискретный же сигнал не требует высокоточного оборудования для измерения, поскольку он обладает заранее известным количеством возможных значений.

Можно провести параллель с математическими функциями. Рассмотрим линейную функцию: . Она может принимать любые значения (от до ).

А теперь рассмотрим такую функцию:

, если

, если

В этом случае функция может принимать только два значения независимо от значения аргумента .

Вернёмся к температуре. Поскольку это аналоговый сигнал, то для его представления нам необходимо каждый момент времени измерять значение и заносить его в таблицу. То есть из бесконечного набора значений температуры мы получаем определённый, конечный набор значений. Можно сказать, мы представляем аналоговую информацию в дискретном виде. Такой процесс называется дискретизацией.

Дискретизация — процедура преобразования информации из аналоговой модели представления в дискретную.

В реальной жизни вся информация, которая нас окружает, является аналоговой.

Речь человека — это тоже аналоговый сигнал, передающий целый спектр данных: непосредственно информационное сообщение, тембр голоса, интонацию, акцент.

В сигналах, поступающих к нам из внешней среды, мы выделяем отдельные элементы, существенные для нас и которые можно пересчитать или описать. И сохраняем их, используя дискретную систему — буквы, цифры, ноты и так далее.

Например, когда родители просят нас что-то сделать по дому, мы для себя явно можем выделить следующие важные моменты полученного звукового сигнала: кто нас попросил — мама или папа, о чём нас попросили — убрать пыль или застелить постель, сколько у нас есть времени на это — нужно срочно или в течение дня, и так далее. Мы можем сохранить полученное сообщение в виде символов текста: например, чтобы не забыть сделать уборку по возвращении домой, мы занесём себе в календарь это задание. А можем сохранить это сообщение в виде значка веника и щётки в блокноте. Таким образом, среди всего многообразия данных, переданных нам в аналоговом сигнале, мы выделяем самое важное и фиксируем это в памяти или на физическом носителе информации.

Один и тот же сигнал может нести для принимающего человека разное значение или смысл.

К примеру, при переходе дороги мы чаще всего ориентируемся на показания пешеходного светофора. Зелёный — идём, красный — стоим.

Если посмотреть с точки зрения водителя на этот же светофор, то зелёный свет светофора для него будет иметь значение «движение запрещено». На самом деле светофор передаёт гораздо больше информации, чем мы явно воспринимаем. Он может гореть с разной яркостью, быть расположенным на разной высоте, использовать различные лампы для генерации света, но для нас важно несколько моментов:

1. Горит разрешающий или запрещающий сигнал.

2. Этот сигнал адресован именно нам, а не перпендикулярному потоку.

3. Нам хватит времени, чтобы перейти дорогу.

Мы опять приходим к выводу, что из всего многообразия данных, передаваемых нам, мы выделяем только самые важные для нас. В некотором смысле мы оцифровываем или дискретизируем аналоговые сигналы для сохранения информации.

Двоичное кодирование

Алфавит — набор знаков (букв), из которых мы, как из кирпичиков, составляем слова. Сами по себе буквы смысла не несут, а вот слова, которые из них составлены, уже несут.

Алфавит — термин, который используется не только в русском или английском языке.

Алфавит — это фиксированный набор знаков, применяемых для представления информации.

Мы уже знаем, что разные алфавиты имеют разное количество символов, с помощью которых можно представлять информацию.

Мощность алфавита — это количество всех знаков языка.

Алфавитом привычной нам десятичной системы счисления является набор цифр от до , с помощью которых записывается любое натуральное число. В данном случае можно говорить об элементах алфавита математического языка. Мощность десятичного алфавита составляет знаков. Их достаточно для представления абсолютно любого числа.

Также в качестве примера можно рассмотреть нотную грамоту. Мощность алфавита нотной грамоты составляет знаков (до, ре, ми, фа, соль, ля, си).

Для русского алфавита мощность составляет знака (от до ).

В вычислительной технике для представления информации в памяти компьютера нашёл применение двоичный алфавит: он состоит из двух знаков — и .

Были компьютеры, представлявшие информацию и в десятичном виде, и в троичном. Но самое большое распространение получило именно двоичное представление информации. Его достаточно просто реализовать внутри компьютера, ведь можно закодировать одно состояние как «есть ток», а другое — как «нет тока».

В виде двоичного кода можно представить любой алфавит. Для этого достаточно пронумеровать по порядку все символы алфавита и номера записать в двоичном коде.

В таблице представлена схема кодирования символов произвольного алфавита. В качестве примера рассмотрим русский алфавит.

Возьмём первые четыре буквы и пронумеруем их по порядку. Порядковым номерам сопоставим все комбинации из нулей и единиц.

В случаях, когда мощность алфавита больше двух, каждый символ будет закодирован несколькими двоичными знаками. То есть номеру каждого символа будет соответствовать последовательность из нескольких двоичных знаков. Это подробно можно увидеть на схеме (рис. 9).

Разрядность двоичного кода — это количество символов в двоичной цепочке.

Из двух двоичных символов можно составить комбинации двоичных цепочек, из трёх двоичных символов можно составить комбинаций двоичных символов и так далее.

Заметим, что:

Повторить степени можно с помощью урока Степень с натуральным показателем.

Здесь можно отметить, что для кодирования русского алфавита в двоичном виде недостаточно иметь двоичных разрядов, поскольку мощность русского алфавита равна , поэтому необходимо иметь хотя бы разрядов, чтобы записать все буквы.

Если же необходимо записывать как строчные, так и прописные буквы, то в этом случае необходимо представлять уже символов. Сколько потребуется двоичных знаков для этого? Давайте попробуем взять , но тогда , а это меньше , поэтому разрядов нам не хватит. Возьмём разрядов, получим: . Этого уже хватает с запасом.

Для английского алфавита минимальной разрядностью является , ведь символов английского алфавита всего , а . Если же нужно кодировать оба регистра, то получаем , а для такого количества знаков необходимо знаков двоичного числа, ведь .

В данных примерах количество кодовых комбинаций представляет собой произведение некоторого количества одинаковых множителей, равного разрядности двоичного кода.

В кратком виде предыдущие записи можно представить так: , где количество кодовых комбинаций обозначено буквой , а разрядность двоичного кода — буквой .

Задача 1

Какой разрядности потребуется двоичный код, если используемый алфавит содержит символа?

Нам нужно зашифровать кодовые комбинации.

Решение найдём путём подбора значения — такое число, чтобы в этой степени равнялось .

Ответ: разрядов потребуется для двоичного кодирования информации.

Задача 2

Информационное световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях: «включено» или «выключено». Какое минимальное количество лампочек нужно установить на табло, чтобы с его помощью можно было передавать различных сигналов?

Решение

Количество кодовых комбинаций всего . Из формулы определим .

Подберём ближайшее значение .

, что меньше , то есть лампочек не хватит.

, что больше , следовательно, для установки на табло хватит лампочек.

Ответ: .

Задача 3

Алфавит содержит буквы. Сколько разных пятибуквенных слов можно составить? Буквы могут повторяться.

Решение

Каждое слово состоит из букв. На место каждой из букв можно поставить каждую из букв. То есть на первую позицию есть варианта выбрать букву, на вторую и так далее. При этом для каждого из вариантов буквы на первом месте будет три варианта буквы на втором месте и так далее, то есть количество вариантов для каждой позиции нужно перемножить: .

Запишем решение так, чтобы его можно было использовать для любой похожей задачи.

Обозначим количество букв в алфавите, оно по условию равно .

Примем — количество слов, которое можно составить из букв.

Буквой обозначим количество символов в слове: .

Следовательно, можно определить как .

слова, или .

слова.

Ответ: можно составить разных пятибуквенных слова.

Задача 4

В лабораторию на испытание поступила пробирок с лекарством. Но возникла непредвиденная ситуация — одна пробирка отравлена. У вас есть ровно день, чтобы найти пробирку с ядом. Если тестировать все пробирки, то пройдёт много времени, его нет, лекарство ждут люди. В лаборатории есть всего тестов для определения яда. Лекарство на них никак не действует, а вот даже капля яда приведёт к изменению цвета (произойдёт в течение одного дня).

Можно ли организовать тестирование так, чтобы успеть определить пробирку с ядом и спасти людей?

Решение

Кажется, при чём тут алфавит и тема урока?

У нас есть пробирок, мы хотим «поименовать» их таким образом, чтобы в результате испытания стало однозначно ясно имя пробирки с ядом. И «букв» — те самые тесты. Причём каждый из тестов принимает одно из двух значений: сработал или не сработал. То есть на месте каждой из букв может быть из двух символов. Таким образом можно записать слова, то есть нам должно хватить, чтобы различить пробирок.

Как же это сделать?

Пронумеруем каждый из тестов от до , а пробирки — от до .
Дальше каждой пробирке ставим в соответствие её номер (от до ), записанный в двоичной системе.

Дальше поступаем следующим образом: капаем из пробирок капли на те тесты, номерам которых соответствуют единицы в номерах пробирок: из первой пробирки капаем каплю только на 10-й тест; из второй — только на 9-й; из 3-й — на 9-й и 10-й и так далее. Из 1000-й пробирки капаем на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й и 7-й тесты.

Поскольку яд только в одной пробирке , то цвет изменят только те тесты, на которые мы капнем из неё. Предположим, это будут 3-й, 5-й, 6-й и 7-й тесты.

Но любой последовательности и соответствует ровно один номер пробирки, из которой мы капали на эти самые тесты.

В нашем примере яд будет в пробирке с номером , который можно расшифровать как .

Здесь используется правило перевода двоичного кода в десятичные число, описанное в уроке.

Ответ: организовать тестирование можно.

Обратите внимание, что мы бы решили задачу даже при пробирках, только тогда нужно было начинать нумерацию с и заканчивать .

Универсальность кода. Равномерный и неравномерный код

У многих современных смартфонов камеры не хуже, чем у фотоаппаратов. Мы привыкли к тому, что можно делать много фотографий — на сколько хватит памяти телефона и его зарядки.

И может показаться странным, что ещё относительно недавно фотографировали только с использованием плёнки.

В той системе было много минусов. Во-первых, количество кадров ограничивалось длиной плёнки; во-вторых, фотографию можно было увидеть только на этапе распечатки; в-третьих, на этом самом этапе можно было лишиться фотографий, если плёнку засветить.

Сейчас почти все фотоаппараты и другая техника цифровые.

Представьте, каким прорывом было то, что удалось придумать способ превращать изображение в набор нулей и единиц (а потом, при необходимости, возвращать исходный вид).

Тогда его стало удобно хранить в таком виде, легко передавать на компьютер (ведь он исходно работает с изображениями и другими материалами, закодированными в таком виде). Более того, сами фотоаппараты стали мини-компьютерами — теперь можно сразу увидеть сделанный кадр, посмотреть предыдущие и так далее.

Конечно, есть и обратная сторона медали. Раньше люди берегли кадры, старались фотографировать только то, что было действительно важно, не фотографировали всё подряд.

Фотография была ближе к искусству или способу запечатления важных моментов. Сейчас фотоаппарат у каждого в кармане, фотографий можно делать сколько угодно, поэтому ценность фотографии (не только с визуальной точки зрения, но и с точки зрения содержания) сильно снизилась. Если у тебя с собой плёнка всего лишь на 24 кадра, вряд ли ты будешь фотографировать еду или цвет ногтей во время туристической поездки.

Рассмотрим ещё один пример. Виниловая пластинка и магнитная лента — это два носителя аналогового сигнала для воспроизведения звука. Слушая старые записи, можно услышать характерное потрескивание и шипение, которые присущи только записям на плёнке.

С развитием технологий появилась возможность записывать и обрабатывать звук на компьютере — подавлять шумы, добавлять эффекты, с лёгкостью тиражировать и распространять записи.

Следующий пример. Старая проводная телефонная линия и современная мобильная связь.

Телефонная проводная связь не всегда обеспечивает хорошее качество. Разговор между двумя абонентами на больших расстояниях — большое испытание голосовых связок и слуха. Помехи, шумы, искажённые слова — всё это говорит не в пользу проводной телефонии. С другой стороны, хоть и плохой звук, но есть.

Звук по мобильной связи отлично слышно, даже если звонок совершается из другого полушария. Оцифрованный сигнал передаётся и принимается практически без искажений.

У любой медали две стороны, но прогресс вряд ли можно и нужно останавливать.

Итак, любой аналоговый сигнал мы можем представить на естественном или формальном языке, выделяя из него наиболее важную для нас информацию. То есть мы можем с некоторым допустимым приближением выделить существенную дискретную часть аналогового сигнала и уже её представить в виде последовательностей нулей и единиц. Это говорит об универсальности двоичного кодирования.

Рассмотрим пример. Требуется передать сообщение, записанное буквами 4-символьного алфавита. Для сохранения секретности запишем его в двоичном коде. Закодируем каждый символ двумя знаками. Наше письмо адресат сможет прочитать без труда, так как мы подскажем, каким образом оно было зашифровано.

Здесь каждый символ кодируется кодом одинаковой длины — двумя знаками, это называется равномерным кодом.

Равномерный код — это такой код, в котором представление знаков алфавита производится блоками символов одинаковой длины.

В конце XIX века Жан Бодо предложил способ кодирования телеграфных сообщений двумя видами сигналов. Длина кодов всех знаков была одинаковой и равна пяти знакам.

Например, буква передавалась как «», что соответствовало нажатию средней клавиши. В двоичном коде это можно записать как .

Таким образом, каждая буква записывалась пятью битами. Код Жана Бодо можно отнести к двоичному способу кодирования. Тот же способ кодирования текстовой информации применяется в компьютерах.

К примерам равномерных кодов также можно отнести представление текстовой информации в компьютере, так называемой восьмибитной кодировки. Что означает, что каждый символ закодирован последовательностью нулей и единиц.

Чтобы понять, что такое неравномерный код, обратимся к азбуке Морзе.

Если внимательно её рассмотреть, то можно увидеть, что не все буквы кодируются одинаковым количеством точек и тире. Для часто используемых букв , , используют короткие коды, а для редко используемых символов — коды большей длины.

Часто передаваемые кодовые последовательности более короткие, следовательно, компактные.

Неравномерный код — код, в котором знаки алфавита кодируются блоками символов различной длины.

Таким образом, преимущество неравномерных кодов перед равномерными заключается в том, что сообщения можно передавать более экономным способом.

Если говорить о недостатках, то проблема использования неравномерных кодов заключается в неоднозначном декодировании. Например, если вам известно, что число записано путём слияния двух чисел, то возникает неоднозначность: это число можно разбить на и , а можно на и .

Существует достаточно много способов представления (кодирования) информации.

Широко известен такой способ быстрой записи устной речи, как стенография. Этому способу записи специально обучают. И пользуются им чаще всего люди таких профессий, как журналисты, секретари. Расшифровать стенографическую запись может только тот, кто её записывал.

Один значок стенограммы может обозначать целое слово или сочетания слов. Стенографирование можно отнести к неравномерному коду.

Алфавит Брайля для слепых также можно отнести к неравномерным кодам. Каждая буква алфавита и цифра кодируется определённым набором выпуклых точек.

Подведём итоги. По своей природе окружающие нас сигналы являются аналоговыми. И человек практически всегда ведёт работу над тем, чтобы выделить для себя важное, смысл сигнала, отбрасывая и пренебрегая менее важными составляющими такого сигнала.

Можно сказать, что человек выполняет процедуру дискретизации информации.

В процессе дискретизации невозможно обойтись без округления, приближения или пренебрежения, поскольку невозможно считать абсолютно всю информацию из аналогового сигнала даже с помощью самого точного прибора. Между моментами, когда мы считываем информацию, с сигналом может происходить ещё что-то важное: он может измениться, а мы это не зарегистрируем. И как бы мы ни пытались сокращать интервал считывания информации, всегда часть её будет оставаться вне наших измерений.

Дискретизация информации — процедура преобразования информации из аналоговой модели представления в дискретную.

Для дискретизации информации её нужно записать с использованием алфавита естественного или формального языка.

Алфавит — фиксированный набор знаков, применяемых для представления информации.

Мощность алфавита — это количество всех знаков языка.

В вычислительной технике для представления информации в памяти компьютера нашёл применение двоичный алфавит, который состоит из двух знаков — и .

Разрядность двоичного кода — количество символов в двоичной цепочке.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. РОССИЙСКАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ ШКОЛА. Информатика. 7-й класс. Урок 5. Кодирование информации. Двоичный код

Проверьте себя

1. Чем отличаются непрерывный и дискретный сигналы?

2. Что такое дискретизация?

3. В чём заключается универсальность двоичного кодирования?

4. Как связаны мощность алфавита и разрядность двоичного кода, используемого для кодирования всех символов алфавита?

5. Приведите примеры использования равномерных и неравномерных кодов.

Список использованных источников:

Изображения используются согласно лицензии Shutterstock / FOTODOM

Моушн-дизайнер Лопатин М. С.

Источник: wikipedia.org / название: Nevski Prospekt in Sint Petersburg Nevski Prospect (titel op object), RP-F-2007-357-16 / атрибуция: public domain, автор: Rijksmuseum

Источник: wikipedia.org / название: Jean-Maurice-Emile Baudot / атрибуция: public domain, автор: A. Delzers

Источник: wikipedia.org / название: Diagram of I Ching hexagrams owned by Gottfried Wilhelm Leibniz / атрибуция: public domain, автор: Gottfried Wilhelm Leibniz

Источник: wikipedia.org / название: Scientific staff members working on the computing machine Setun / атрибуция: public domain, автор: USSR state-owned publisher \"Sputnik\"

Источник: wikipedia.org / название: Explication de l'Arithmétique Binaire / атрибуция: public domain, автор: Gottfried Wilhelm Leibniz

Источник: wikipedia.org / название: Portrait of Gottfried Leibniz / атрибуция: public domain, автор: Christoph Bernhard Francke