04. Свойства диагоналей прямоугольника

Введение: четырехугольники, элементы четырехугольников

Рассмотрите геометрические фигуры на рисунке 1. Чем они похожи?

Все фигуры имеют по четыре стороны (рис. 2).

У всех фигур по четыре вершины (рис. 3).

Каждая из фигур имеет по четыре угла (рис. 4).

Такие фигуры называют многоугольниками или четырехугольниками.

Прямоугольники

Разделим теперь все фигуры на две группы. В одну группу можно выделить четырехугольники, у которых все углы прямые (рис. 5). Такие четырехугольники называются прямоугольными четырехугольниками, или прямоугольниками.

Рассмотрим прямоугольник  (рис. 6).

У него все углы прямые. Убедиться, что все углы действительно прямые, поможет инструмент – прямоугольный треугольник (рис. 7).

Приложим прямой угол прямоугольного треугольника на чертеже так, чтобы обе стороны и вершины углов совпали (рис. 8).

Мы видим точное совпадение на рисунке 8, значит, этот угол прямой. Проверим таким же образом каждый угол (рис. 9, 10, 11).

Противоположные стороны прямоугольника равны (рис. 12).  и  – противоположные стороны.

 и  – тоже противоположные стороны, и они равны (рис. 13).

Диагонали прямоугольников и их свойства

Отрезки  и  (рис. 14) называются диагоналями прямоугольника .

Сравним по длине диагонали прямоугольника , в этом нам поможет инструмент циркуль (рис. 15).

Поставим ножку циркуля на точку , а вторую ножку циркуля поставим на точку  (рис. 16).

Не изменяя расстояния между ножками циркуля, перенесем ножки на отрезок  (рис. 17).

Мы видим, что одна ножка циркуля совпала с точкой , а вторая – с точкой . Значит, диагонали  и  равны.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника

Точка  – это точка пересечения диагоналей и  (рис. 18).

Теперь сравним отрезки, которые получились при пересечении диагоналей, это отрезки , ,  и . Снова воспользуемся циркулем. Поставим ножку циркуля на точку , а вторую ножку циркуля поставим на точку  (рис. 19). Не сдвигая ножку циркуля с точки  и не изменяя расстояния между ножками, перенесем циркуль на отрезок . Мы видим, что вторая ножка циркуля совпала с точкой  (рис. 20). Значит, отрезки  и  равны.

Сравним таким же образом отрезки  и . Перенесем циркуль на отрезок , не сдвигая одну ножку циркуля с точки  и не изменяя расстояния между ножками циркуля. На рисунке 21 мы видим, что ножки циркуля точно совпали с точками  и .

Теперь также перенесем циркуль на отрезок . И снова видим точное совпадение с точками  и  (рис. 22).

Мы видим, что отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.

Заключение

Попробуйте сами начертить любой прямоугольник и проверить правильность двух выводов. Первый вывод: диагонали прямоугольника равны. Второй вывод: точка пересечения диагоналей делит их на равные отрезки.

Список литературы

1. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. – М.: 2013. – 96 с. + 128 с. + 96 с.

2. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова – М.: Просвещение, 2010.

3. Математика. 4 класс. Учебник в 2 ч. Башмаков М. И., Нефедова М. Г. – 2009. – 128 с., 144 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «myshared.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «myshared.ru» (Источник)

Домашнее задание

Дайте ответы на вопросы:

1. Сколько диагоналей у прямоугольника?

2. Верно ли утверждение, что все четырехугольники являются прямоугольниками?

3. Какие вы знаете элементы прямоугольников?

4. Что такое диагональ?