03. Числовые и буквенные выражения

На данном уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями, научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам и находить их значения.

Числовые выражения

Все вы наверняка слышали такое слово русского языка — «выражение». Некоторые из вас даже знают, что оно означает. Сегодня мы с вами познакомимся немного с другими выражениями, которые имеют отношение уже к математике: так называемыми числовыми и буквенными выражениями.

Решение:

Найдём, сколько литров молока было во втором бидоне. Для этого извычтем, потому что налитра меньше, и получим(литров). Столько молока во втором бидоне.

1)

Прибавим клитрам, которые находятся в первом бидоне,литров, которые находятся во втором. Получим литров.

1)

Это и есть ответ.

Ответ:литров.

Эту задачу можно решить по-другому.

Выпишем в одну строку, сколько литров молока в двух бидонах. Для этого выпишем, сколько литров в первом — , и прибавим, сколько литров во втором (во втором налитра меньше, чем в первом,

Мы взяли выражениев скобки, чтобы показать, что речь о втором бидоне.

— это числовое выражение, которое показывает, сколько у нас литров в двух бидонах. Мы можем вычислить это числовое выражение ровно по тем действиям, о которых мы говорили выше. Тем не менее этот вид тоже очень полезен, и он может быть даже важнее, чем умение считать по действиям.

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

— один из примеров числового выражения.

Можно привести и другой пример: 

Это также числовое выражение: в нём есть числа, знаки арифметических действий и скобки.

Зачем же нужны числовые выражения?

На самом деле, их основное удобство в том, что вы получаете более полную картину того, что происходит в задаче или примере. Одно дело, когда вы выполняете пример по действиям, тогда вы понимаете, что сначала первое действие, затем, независимо от первого, есть второе, потом третье. Во время первого действия вы не думаете, что будете делать вторым действием, третьим и так далее.

Если же вам дан числовой пример в целом, то вы можете оценить и, как мы потом научимся, упростить его. Это очень важно, потому что это может довольно существенно сократить вычисления.

Задача 2. У Кости было 38 конфет. Сначала он отдал 19 конфет брату, потом папа подарил ему 19 конфет, а затем мама подарила ему еще 12 конфет. Сколько конфет стало у Кости?

Решение:

Решим задачу по действиям.

1)конфет осталось у Кости после того, как он отдал брату 19 конфет.

2)конфет стало у Кости после того, как папа подарил ему 19 конфет.

3)конфет стало у Кости после того, как мама подарила ему 12 конфет.

Ответ: 50 конфет.

Попробуем нашу задачу по-другому, составив числовое выражение.

Исходно было 38 конфет:

19 конфет отдал брату:

19 получил от папы:

И 12 получил от мамы:

Посмотрим на получившееся выражение внимательнее. Нетрудно видеть, что мы сначала отнимаем 19, потом прибавляем 19. Это мы заметили только теперь, когда расписали не по действиям, а в виде единого выражения. И мы можем заметить, что, вычитая 19 и прибавляя 19, мы ничего не изменим. Значит, нужно просто к 38 прибавить 12. Получится 50.

Это и есть упрощение выражения. В дальнейшем вы научитесь выполнять подобные преобразования, чтобы считать быстрее.

Ещё раз отметим: когда мы решали задачу по действиям, мы не думали о втором действии, выполняя первое. Во втором же случае перед нами полная картина всех действий, которые нам предстоит выполнить. И именно поэтому мы смогли упростить выражение и, соответственно, облегчить себе вычисления, сделав из трёх действий одно.

Есть другая составляющая того, зачем необходимо вводить понятие числового выражения.

Представьте себе, что у вас написан длинный-длинный пример. Как его назвать?

Чтобы не говорить «вот это числа, сложенные в скобочках и без», просто скажем «числовое выражение». То есть мы ввели новое понятие, которое будем использовать в дальнейшем при решении различных задач.

Иногда числовые выражения, которые мы записываем, просто не имеют смысла.

Казалось бы, если мы пишем числа, действия и скобки, ничего противоестественного произойти не может. Тем не менее рассмотрим, например, такое выражение:

Вы знаете, чтоЗначит, 3 необходимо разделить на ноль. Как вы знаете, на ноль делить нельзя. Поэтому такое выражение смысла не имеет.

Чтобы хорошо работать с числовыми выражениями нужно знать: свойства арифметических действий; правила раскрытия скобок, чтобы это помогло нам упростить выражение и так далее.

Алгебраические выражения

Чем алгебраические выражения отличаются от числовых? Числовые или арифметические выражения имеют дело только с числами, знаками действий и скобками. Алгебраические выражения дополнительно имеют дело с буквами.

Алгебраическое выражение (буквенное выражение) — это запись, составленная из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

Рассмотрим пример буквенного выражения:

Кажется, бред: к букве прибавляем число. Это напоминает ситуацию из одного произведения Джанни Родари, там героям был задан шуточный вопрос: «А ну попробуй отгадать, сколько будет кот плюс пять?».

Действительно, странно прибавлять к букве или к коту какое-то число. Как же это возможно?

На самом деле, загвоздка в том, что буква тоже обозначает некоторое число. Просто это число в данный момент нам не известно. Зато при конкретном значении этой буквы, например примы можем вычислить значение этого выражения.

При

Поэтому букв в выражениях бояться не надо. Мы можем написать и более «страшное» выражение. Например,

Это тоже алгебраическое выражение, потому что оно содержит буквы, числа, знаки действий и скобки.

Задача 3. Велосипедист едет со скоростьюкилометров в час. Сколько километров он проехал?

Как же определить, сколько он проехал, если не известно, сколько времени он двигался.

Решим эту задачу для некоторых частных случаев.

1) Пусть он ехалчас со скоростьюкилометров в час. Сколько тогда он проехал километров?

2) Пусть он ехалчаса. Сколько тогда он проехал километров?

Мы можем сформулировать много таких задач. Заменим множество этих задач одной:

3) Пусть он ехалчасов. Сколько тогда он проехал километров?

Как мы знаем, для того чтобы найти расстояние, мы должны умножить скорость на время. То есть:

Мы получили алгебраическое выражение, которое отражает, сколько километров проедет велосипедист зачасов.

С помощью алгебраического выражения мы смогли выразить одну величину, которая нам интересна (расстояние), через другую (время).

Задача 4. У Пети было наконфеты больше, чем у Васи. Сколько конфет у них вместе?

Мы не можем решить эту задачу, так как не знаем, ни сколько конфет было у Пети, ни сколько конфет было у Васи.

Предположим, что у Васиконфет.

Тогда у Пети на 3 больше, то естьконфеты.

Значит, у них вместеконфет.

Данное алгебраическое выражение показывает, сколько конфет у ребят вместе.

Обратите внимание, что, записав это выражение, мы фактически решили исходную задачу для всех возможных начальных данных. Если нам будет дано, что у Васи былоконфет, то мы просто подставим вместочисло и получим общее количество конфет.

Приконфеты.

Приконфет.

Ответ:конфет.

То есть, выписав алгебраическое выражение, мы смогли решить задачу в общем виде, независимо от того, каковы были начальные данные.

Зачем же нужны алгебраические выражения?

Как мы только что убедились, они позволяют выразить одну величину через другую. Это очень важно. Нам это пригодиться в течение всего обучения. Мы с вами научимся также упрощать алгебраические выражения, как и числовые. Поэтому то понятие, которое мы ввели сегодня, переоценить очень сложно.

Заключение

Мы познакомились с двумя понятиями: числовыми и алгебраическими выражениями. Мы узнали, что это такое, примерно поняли, зачем они нужны. На дальнейших уроках мы научимся упрощать выражения, использовать их и ещё лучше поймём их предназначение.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «spacemath.xyz».

Проверьте себя

1. Найдите значение выражения:

   а)при;

   б) при .

2. Запишите числовое выражение для решения задачи:

   Коля выполнял домашнее задание по русскому языкуминут, а по математике — наминут дольше. За сколько минут Коля выполнил домашнее задания по обоим предметам вместе?

3. Составьте задачу по числовому выражению:

1. Ручка стоитрублей, а тетрадь стоит рублей. Сколько стоит тетрадь и ручка вместе?

Список использованных источников:

Рис. 1–6. Иллюстратор Ракитина К. В.