02. Деление. Деление с остатком

Определение деления

Мама купила для Васи и трёх его друзей конфет. Сколько достанется каждому при делении конфет между ними поровну?

Пусть конфет у каждого мальчика. Тогда всего конфет .

Сейчас мы с вами нашли неизвестный множитель, при том, что знали другой множитель и произведение. Данное действие называется делением.

Деление – действие по нахождению одного неизвестного множителя при известном другом множителе и известном произведении.

В данном случае число – делимое (то, что мы делим), число – делитель (то, на что мы делим), – частное (то, что получаем в результате деления).

Частное показывает, во сколько делимое больше, чем делитель. конфет больше, чем конфеты, в раз.

Свойства деления

Частные случаи деления

1. На ноль делить нельзя. Если мы разделим некоторое число на ноль, то должны получить число, которое при умножении на ноль дает . Но любое число при умножении на ноль дает ноль. Деление на ноль не определено.

2. При делении числа на получаем само это число.

   Какое число нужно умножить на , чтобы получить ? Само это число.

3. При делении числа на самого себя получаем единицу.

   Какое число необходимо умножить на , чтобы получить ? Число .

4. При делении ноля на что-либо получаем ноль.

Пример 1. Вася написал за четверть контрольных работ. В сумме за все работы он получил баллов. Какую четвертную оценку получит Вася?

В среднем за каждую работу Вася получает

Вася получит четвертную оценку .

Решение уравнений, которые содержат знак умножения или деления

Пример 2. Решим уравнение:

По определению деления получаем:

Пример 3. Решим уравнение:

Делимое есть произведение делителя и частного.

Значит, чтобы найти делитель, необходимо разделить делимое на частное.

Пример 4. Решим уравнение:

Вспомним, что делимое есть произведение делителя и частного. В нашем случае делимое это .

Деление с остатком

Вернемся к Васе и его друзьям. Пусть мама купила ребятам не , а конфет. Раздадим конфет, как делали раньше, и две конфеты останется. Получается, мы разделили на с остатком – конфеты у нас осталось.

(остаток )

Остаток всегда меньше делителя.

Пусть мы поделили на и получили .

Тогда остаток равен . конфет осталось. Но ведь мы можем раздать по одной из этих конфет Васе и его друзьям. Если остаток получился больше делителя, то мы просто не доделили.

При делении на остаток равен нулю.

Более сложный пример

Задача. Известно, что число разделили на некоторое число с остатком и остаток получился равным неполному частному. На какое число разделили?

Рассмотрим число . Мы его разделили с остатком на какое-то число х (его нам и надо найти). Мы знаем, что неполное частное равно остатку деления. Обозначим их квадратиками.

Заметим, что какое бы число ни стояло на месте квадратика, и делится на  и  делится на . Значит, и должно делиться на это число (на ). А на что делится число ? На , , , . Разберем каждый вариант.

1. Если на месте квадратика стоит .

2. Если на месте квадратика стоит .

3. Если на месте квадратика стоит .

Обратите внимание: в данном случае делитель, т. е. , меньше, чем остаток, т. е. . Значит, такой случай невозможен. Именно поэтому невозможен и случай, когда на месте квадратика стоит число .

Ответ: делили либо на , либо на .

Заключение

Мы познакомились с таким действием, как деление; узнали, что такое деление с остатком и без остатка. Также познакомились с тем, как решать уравнения, где есть операция деление.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Запишите частное и укажите его элементы (делимое и делитель):

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г)  и .

1. На сколько необходимо умножить , чтобы получить ?

2. У Саши, Артема, Коли и Жени есть груши. Сколько груш необходимо дать каждому из ребят, чтобы разделить все груши поровну? Если бы у ребят было не , а груш, сколько груш осталось бы после деления между ребятами поровну?

3. Выполните деление с остатком:

а) на

б) на

в) на

г) на