01. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник
6 мин
02. Измерение углов. Транспортир
12 мин
03. Проценты (Слупко М.В.)
10 мин
04. Проценты (Вольфсон Г. И.)
17 мин
05. Решение задач на проценты
17 мин
06. Круговые диаграммы
12 мин
02. Измерение углов. Транспортир
Видео доступно по абонементу
На уроке мы вспомним, что такое единицы измерения, узнаем, какими единицами можно измерять углы, познакомимся с такой единицей измерения, как градус, научимся измерять углы в градусах и чертить их с помощью транспортира. Также мы узнаем о других единицах измерения углов, которые применяются в различных ситуациях.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение» и «Связь числа и\nгеометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур».
Введение
Какие-то вещи можно измерить, какие-то нельзя. Например, нельзя измерить дружбу или любовь. А расстояние, вес, температуру вполне можно. Чтобы что-то измерять, нужно всем договориться о единицах измерения.
Метр, аршин, фут, дюйм — это и есть такие договоренности при измерении длины. Эталонный метр хранится во Франции, в Палате мер и весов. Килограмм, фунт, пуд — это договоренности для измерения массы. Эталонный килограмм тоже хранится в Палате мер и весов.
Единицы измерения придуманы для конкретных величин. В секундах не измерить вес, а в аршинах — время.
В геометрии такая же ситуация. Есть сантиметры для измерения длин отрезков, но они не подходят для измерения углов. Для измерения углов есть свои единицы измерения. На этом уроке мы рассмотрим одну из них, а именно — градусы.
Измерение величин «чужими» единицамиНа самом деле бывает, когда мы одни величины измеряем единицами, казалось бы, для них не предназначенными, «чужими» единицами.
Можно ли измерить расстояние в минутах? Да, мы часто используем этот способ. «От моего дома до школы 5 минут». Если быть точнее, то «5 минут пешком». Мы здесь используем известную всем величину — скорость пешехода. И величина «5 минут» на самом деле означает «расстояние, которое пешеход проходит со скоростью 5 км/ч за 5 минут». Скорость пешехода — 5 км/ч, 5 минут — эточаса. Умножим одно на другое. Получаем примерно 400 метров. Не очень точно, зато удобно.
Точно по такому же принципу устроена другая единица измерения расстояния — световой год. Световой год — расстояние, которое проходит свет со скоростью 300 000 км/с за 1 год. С помощью светового года измеряют расстояния между звездами.
Очень распространённый пример использования «чужой» единицы измерения — это измерять вес в килограммах. На самом деле килограмм — единица измерения массы, а вес — это другая физическая величина. Если хотите подробнее узнать, в чём разница между массой и весом, и почему измерять вес в килограммах неверно, то наберите в поисковой системе «масса и вес» и получите множество пояснений по этому поводу.
Атмосферное давление мы до сих пор измеряем в миллиметрах (миллиметрах ртутного столба).
Хотя для угла есть свои «родные» единицы измерения — градусы, которые мы и проходим на этом уроке, все-таки его можно измерять и с помощью линейных единиц измерения, например сантиметров. Если нужно измерить угол A (рис. 2), то можно достроить его до треугольника, так чтобы один угол был прямым (рис. 3), и разделить длину одной стороны на другую.
Получим величину угла , которая называется тангенсом:
Важно, что от величины треугольника ничего не зависит. Увеличим стороны (рис. 4).
Во сколько раз увеличилась одна сторона, во столько — и вторая.
То есть величины часто можно измерять «чужими» единицами, но это чуть сложнее, там нужны некоторые дополнительные договорённости.
Градусы
Разделим полный угол на 360 равных частей. Для этого удобно использовать окружность. Поделим её на 360 частей и соединим каждое полученное деление с центром. Получим 360 равных углов (рис. 1).
Один такой маленький угол назовём углом в 1° (рис. 2).
Неважно, какого размера будет окружность, которую мы делим. Поделим обе окружности на 360 частей, получим равные углы в 1°, хотя стороны одного угла визуально длиннее, чем у другого (рис. 3).
Стороны углов можно продолжать бесконечно, от этого размер угла не меняется (рис. 4).
Полный, развёрнутый, прямой угол
Величина любого угла — это сколько раз в него умещается угол в 1°.
Вот мы видим угол 13° (рис. 5).
Понятно, что полный угол состоит из 360 таких углов. То есть он равен 360° (рис. 6).
Развёрнутый угол — это половина полного угла. Он равен (рис. 7).
Прямой угол является половиной развёрнутого и равен 90° (рис. 8).
Эталон градуса нет нужды где-то хранить. Если нужно, то всегда можно полный угол разделить на 360 частей и получить точный градус.
Другие единицы измерения угловЯвляется ли градус единственной единицей измерения углов? Конечно, нет. Существуют и другие единицы измерения углов.
Минуты и секунды.
Как и метр можно делить на дециметры, сантиметры, миллиметры для более точных измерений, так и градусы делятся на более мелкие единицы измерения.
Если угол в 1° разделить на 60 равных частей, то величина полученного угла называется минута, обозначается: 1′.
Если минуту поделить на 60 частей, то полученная величина называется секундой. обозначается: 1′′. Секунда — уже очень маленькая величина, но её тоже можно делить дальше.
— градус | — минута | — секунда |
Таблица 1. Минуты и секунды
Почему вообще стали делить на 360 частей полный угол, ведь это не очень удобно? В древнем Вавилоне была шестидесятеричная система (у нас десятеричная). Им было удобно делить на 60.
Грады.
Чтобы сделать измерение углов ближе к нашей десятичной системе счисления, были предложены грады. Для этого полный угол делили на 4 части и прямой угол делили на 100 частей.
Полученная величина чуть-чуть меньше градуса, называется град .
Прямой угол — , полный угол составляет тогда . Система не прижилась, и сейчас её не используют.
Радиан.
Если взять два радиуса окружности так, чтобы кусочек окружности между ними тоже был равен радиусу, то угол между радиусами мы и примем за новую единицу измерения. Он называется 1 радиан. Эта мера используется наравне с градусной. У неё есть свои преимущества и свои недостатки по сравнению с градусами (рис. 3).
Например, теперь полный угол (вся окружность) состоит не из целого числа единичных углов. Полный угол состоит из 6 с лишним единичных углов (рис. 4).
Не очень удобно, зато теперь длина дуги (части окружности) и угол хорошо связаны. Если взять окружность радиуса 1 см, то величина угла совпадает с длиной дуги. Угол 1 рад — дуга 1 см, угол 2 рад — длина дуги 2 см.
Транспортир
Линейка с отметками нужна для того, чтобы измерить имеющийся отрезок или начертить отрезок нужной длины. Чтобы измерить угол или начертить угол нужной величины, мы тоже используем линейку, только не прямую, а круглую. Она называется транспортиром (рис. 9).
Транспортир (от лат. transporto — «переношу») — инструмент для построения и измерения углов.
Единицы измерения на ней — градусы. Шкала начинается с нуля и заканчивается 180°.То есть максимальный угол, который мы можем измерить или начертить, — это 180°, развернутый.
Транспортиры могут быть разных размеров, но это не влияет на то, какого размера углы ими измеряют. Для более крупного транспортира у углов нужно чертить стороны длиннее.
Примеры
Измерим пару углов.
Прямая часть транспортира совмещается с одной стороной угла, центр транспортира с вершиной угла. Смотрим, где оказалась вторая сторона угла — 54° (рис. 12, 13).
Проделаем то же самое со вторым углом, 137°.
Если сторона угла не достает до шкалы, то её нужно сначала продлить (рис. 14).
Построим углы, равные 29°, 81° и 140°.
Сначала чертим одну сторону угла по линейке (см. рис. 15).
Отмечаем вершину. Совмещаем с транспортиром. Отмечаем точкой нужное значение угла — 29° (рис. 16).
Убираем транспортир. Соединяем полученную точку с вершиной (рис. 17).
Точно так же строим два других угла (рис. 18, 19).
Заключение
Итак, мы с вами обсудили, что для измерения углов люди договорились использовать градусы. Градус — это полного угла или окружности.
Инструментом для измерения и построения углов является транспортир.
Можно не использовать названия углов — полный, развернутый, прямой. Мы можем просто говорить — 360 градусов, 180 или 90 градусов.
Полезные ссылки
Проверьте себя
Начертите два произвольных угла: один тупой, другой острый. Измерьте эти углы.
Начертите углы: 23°, 167°, 84°.
По рисунку определите градусные меры углов COD, COG, COE, COH, FOT.
Список использованных источников:
Рис. 1–20. Иллюстратор Ракитина К. В.
"