01. Позиционная система счисления
02. Понятие числа (Побединский Д. М.)
10 мин
03. Понятие числа (Вольфсон Г. И.)
04. Точка и линия
05. Отрезок. Единицы измерения длины
06. Плоскость, прямая, луч, угол, треугольник
22 мин
07. Измерительные приборы и шкалы
08. Измерение величин, единицы измерения
14 мин
09. Сравнение натуральных чисел (Терентьева И. Г.)
10. Сравнение натуральных чисел (Богданович Е. М.)
11 мин
11. Как найти вычислительную ошибку?
Измерение величин, единицы измерения
Видео доступно по абонементу
На этом уроке вы узнаете, как сравнить величины между собой, на что обратить внимание при сравнении; познакомитесь с различными единицами измерения.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение» и «Связь числа и геометрии.\nЧасть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур».
Начнём разговор со старой шуточной задачи. Задача шуточная, но ответить мы на неё попробуем серьёзно. Задача звучала так: что больше — килограмм пуха или килограмм железа?
А серьёзный ответ на неё примерно такой: что значит «больше»? Если сравнивать массы, то они одинаковы. Килограмм — он и есть килограмм, неважно, пуха или железа. По объёму, конечно, килограмм пуха больше, т. к. он занимает больше места, чем килограмм железа. Таким образом, вопрос «Что больше?» всегда требует уточнения, ведь измерять можно разные характеристики предмета — длину, объём, массу, температуру и так далее.
Пример 1 (про массы животных)
Представьте, что вы со своим другом играете в игру и по телефону пытаетесь выяснить, кто тяжелее — ваш котёнок или его щенок. При этом запрещено использовать слова «грамм», «килограмм».
Решение: если бы животные были рядом, мы бы легко сравнили, кто тяжелее, посадив их на разные чаши весов (рис. 2).
Но они в разных местах. Тогда вам с другом приходится сравнивать массу котёнка и щенка с массами других предметов.
Вы звоните другу и говорите, например, что котёнок весит как одна книга или как два мобильных телефона (рис. 3). Ваш друг тоже может сравнить своего щенка с массой книги или мобильным телефоном (рис. 4).
Вы звоните другу и говорите, например, что котёнок весит как одна книга или как два мобильных телефона.
Ваш друг тоже может сравнить своего щенка с массой книги или мобильным телефоном
Но книги и мобильные телефоны разные. Что-то надо выбрать такое, что у вас и у друга весит одинаково. И вот вы догадались, что можно использовать стаканы с водой, ведь они почти не отличаются.
Вы по телефону сообщаете: «Котёнок весит как два стакана воды». Слышите в ответ: «Щенок весит как три стакана воды» (рис. 6). Отсюда вы делаете вывод, что щенок тяжелее котёнка.
Что мы с вами сделали? Мы выбрали единицу измерения. Стакан воды оказался единицей измерения массы. Котёнок весил 2 стакана воды, щенок — 3 стакана воды.
Мы поняли, что эта единица достаточно удобная. В ней можно измерять всё что угодно. Например, массу автомобиля.
Как только мы вместе договорились, что используем одну и ту же единицу измерения, то всё стало просто. Мы теперь можем сравнивать массы различных предметов, которые находятся в разных местах, просто сообщая массу по телефону. Кроме того, мы теперь можем эту массу записать и взвесить нашего котёнка через год, когда он будет взрослым котом.
Пример 2 (про высоту дома)
Вы стоите перед высоким домом в чужом городе и по телефону хотите рассказать другу, насколько этот дом высок.
Вы считаете этажи. И передаёте по телефону:
В доме 30 этажей.
Ваш друг понимает, насколько дом высокий (рис. 7).
В данном случае этаж будет единицей измерения высоты. Этажи могут чуть-чуть отличаться, но примерно одинаковые, и для того чтобы понять, насколько дом высокий, подходят.
Единицы измерения
Главное здесь было то, что мы договорились мерить в чём-то одинаковом, выбрали шкалу измерений. Само слово «шкала» (scala) на латыни означает «лестница». То есть шкала похожа на лестницу, а единицы измерения — на ступеньки. Мы можем пройти по лестнице 5 ступенек, а можем — 15 (рис. 8).
Наш путь мы измеряем ступеньками. Это и есть единицы измерения.
Причём ступеньки должны быть одинаковые по высоте, иначе будет очень неудобно ходить (рис. 9).
Стаканы воды, этажи — это всё примеры договорённостей. Понятно, что эти единицы измерения не являются точными. Человечеству для его деятельности необходимы были точные единицы измерения. Постепенно люди договорились о тех единицах измерения, которыми мы пользуемся сейчас и которые мы все хорошо знаем: метры, килограммы, градусы и другие.
Две современные системы мерСегодня у человечества есть договорённость — использовать один из двух наборов единиц измерения: либо метрическую систему мер, либо английскую. Английская система мер используется реже, но всё-таки достаточно широко.
Расстояния в метрической системе измеряют километрами, метрами и сантиметрами.
В английской: аналог километра — миля. Она серьёзно больше, чем километр, — 1609 м. Вместо метра в английской системе используется либо ярд — 91 см, либо фут — 30 см. Вместо сантиметра будет использоваться дюйм — примерно 2,5 см. Вместо грамма — достаточно большая единица — унция (28 г). Вместо килограмма — фунт (453 г). То есть чуть меньше, чем полкилограмма.
Масса в метрической системе измеряется в килограммах и граммах, в английской — в фунтах и унциях.
Температура в метрической системе измеряется в градусах Цельсия, в английской — в градусах Фаренгейта (таблица 1).
Метрическая система | Английская система |
километр (1000 м) | миля (1609 м) |
метр (100 см) | ярд (91 см) фут (30 см) |
сантиметр | дюйм (2,5 см) |
грамм килограмм (1000 г) | унция (28 г) фунт (453 г) |
градус Цельсия | градус Фаренгейта |
Таблица 1. Метрическая и английская системы мер
Количество предметов в множестве
Поговорим ещё об одной величине — о количестве предметов в множестве.
Сколько учеников в классе? Сколько яиц нужно купить в магазине? Сколько людей живёт в Бразилии?
В классе 18 учеников. В магазине нужно купить 2 десятка яиц. В Бразилии 200 млн человек (рис. 10).
Какие единицы измерения мы использовали? Единицы или штуки, если речь не идёт о живых существах. Десятки, миллионы.
Кстати, английская система мер вместо десятков предложит использовать дюжины, то есть 12.
Выбор единиц зависит от количества объектов в множестве и от точности, с которой мы хотим измерять.
Если элементов немного, как учеников в классе, то мы используем единицы. Если их достаточное количество, то можем использовать десятки, например, как с яйцами. Если их очень много, как количество людей в Бразилии, то мы используем миллионы.
Заключение
Давайте повторим, что мы выяснили.
1) Что мы измеряем? Мы измеряем различные характеристики предметов, величины: массу, температуру, объём, длину, количество и так далее (рис. 11).
2) Для чего измерять? Чтобы сравнивать характеристики различных предметов, чтобы передать эту информацию на расстояние или сохранить, записать для других людей или себя (рис. 12).
3) Для измерения всегда должна быть договорённость о шкале, единицах измерения. Их должны знать все участники.
На этом мы заканчиваем урок. Те, кому интересно, могут прочитать об истории возникновения некоторых единиц измерения, которыми мы пользуемся до сих пор.
История возникновения некоторых единицРасстояние
Очень долго многие правители в разных странах придумывали свои меры длины. Часто эти единицы назывались одинаково, но обозначали разное расстояние.
Например, кроме английского фута были русский, бразильский, японский футы, и была ужасная путаница.
И вот французские учёные примерно 250 лет назад решили создать единицу измерения, которую придумывает не правитель какой-то страны, а которая зависит только от природы.
Что они сделали? Линия, которая на глобусе проходит через оба полюса Земли, называется меридианом. Французские учёные поделили эту длину на 20 миллионов частей и полученную часть назвали 1 метр. Таким образом, длина земного меридиана — 20 миллионов метров. Был сделан эталонный метр из специального сплава и помещён в Палату мер и весов, где он хранится до сих пор (рис. 1).
Через какое-то время Наполеон, французский император, начал завоёвывать Европу и везде стал привносить туда эту французскую систему мер — 1 метр. Он не смог завоевать Англию, поэтому там осталась английская система мер.
Ещё через 100 лет Россия тоже стала применять метрическую систему.
Масса
Для единой метрической системы сначала придумали единицу «грамм». Взяли кубик воды, который имеет размеры каждой стороны 1 см. Массу этого кубика назвали 1 грамм (рис. 2).
Если взять кубик воды со стороной 10 см, то есть 1 дециметр, то там уже помещается 1000 таких маленьких кубиков, и масса составит уже 1000 граммов. Итак, масса одного кубического дециметра равна 1 килограмму или 1000 граммов.
Сам куб со стороной 10 см имеет объём 1 литр.
Поэтому масса 1 литра воды составляет 1 килограмм. И это совсем никакое не совпадение. Единицы «грамм», «килограмм» и «литр» были придуманы таким образом, чтобы у них была взаимосвязь. Сам литр является единицей измерения объёма (рис. 3).
Если сторону кубика увеличить до 1 метра, то масса такого кубика будет равна 1 тонне.
Температура
В метрической системе используют градус Цельсия как единицу измерения.
Учёный Андерс Цельсий очень хорошо знал, что вода замерзает при одной и той же температуре и кипит при одной и той же температуре.
Он предложил температуру замерзания обозначить как 0°, а температуру кипения — как 100°.
Осталось поделить этот промежуток на 100 равных частей — и получился 1 °С (рис. 4).
Мы до сих пор упоминаем его фамилию в названии, потому что есть и другие градусы.
Но теперь мы понимаем, что замерзание воды при 0 °С, а кипение при 100 °С — никакое не совпадение. Так были выбраны единицы измерения, такая была договорённость.
Время
Уже очень-очень давно люди стали делить сутки на 24 части. Почему именно 24, никто уже не скажет.
На 12 частей делился день, и на 12 — ночь (рис. 5). Каждая часть называлась «час» (рис. 6).
Причём так как день и ночь не всегда совпадают по длительности, ночные и дневные часы тоже отличались друг от друга.
Со временем люди решили, что это неудобно, и стали сутки делить на 24 одинаковых часа, не обращая внимания на то, день на улице или ночь.
Давно люди стали час делить на 60 частей — на 60 минут, а минуту — на 60 секунд (рис. 7).
Наверное, это самая старая договорённость людей, которая сохранилась до сих пор.
Конечно, современные учёные сделали разные уточнения, но самой идее, самой договорённости уже несколько тысяч лет.
Полезные ссылки
Проверь себя
1. Посмотрите на рисунки (рис. 13), укажите, какие величины измеряют на них.
2. Какими характеристиками должны обладать единицы измерения?
3. Представьте в необходимых единицах измерения.
а) 3 ч. 20 мин. = … с | в) 20 м/с = … км/ч | д) 7 дм 1 см = … мм |
б) 1 км 140 м = … м | г) 1200 мл = … л 200 мл | е) 33 кг 20 г = … г |
"