11. Как найти вычислительную ошибку?

Введение

Тема сегодняшнего урока посвящена тому, как найти вычислительную ошибку. Вы когда-нибудь ошибались в вычислениях? Не ошибается только тот, который ничего не делает. С другой стороны, из этого можно сделать один очень важный вывод: уметь искать свои ошибки не менее важно, чем решать задачу. Задача, решенная с ошибкой, и задача, не решенная вовсе, чаще всего будут значить одинаково, то есть ничего. Поэтому сегодня мы попробуем научиться отыскивать ошибки в своих вычислениях и исправлять.

Сразу возникает следующая проблема. Хорошо, когда вы уверены, что в вашем примере есть ошибка, и рано или поздно вы ее найдете. А вот как самому во время контрольной работы или экзамена догадаться, что в примере есть ошибка? Ведь можно час искать ошибку в примере, а потом выяснится, что ее нет. Сегодня мы познакомимся с некоторыми довольно простыми соображениями, которые позволяют проверять, есть ли в примере ошибка.

Метод последней цифры

Одно из таких соображений называется последняя цифра (или анализ последней цифры). Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данный подход.

Например:

1)

Даже не считая в столбик можно сразу увидеть, что в этом примере есть ошибка, потому что если проверить по последним цифрам , то есть число должно оканчиваться на , а оканчивается на – значит, где-то есть ошибка. Нужно вернуться к своим вычислениям и эту ошибку найти.

2)

Можно сразу сказать, что в вычислении допущена ошибка. Почему? Потому что если перемножить последние цифры и , то получается , число должно оканчиваться на , а у нас оканчивается на .

3)

Опять без подсчетов в столбик можно сказать, что здесь допущена ошибка. Как видите, этот пример содержит два действия. Попробуем сделать все действия с последними цифрами. Как вы помните, порядок действия у нас таков: сначала делаем умножение, потом сложение. Мы умножаем на – и получается , на конце числа должен стоять , к прибавляем , должно получиться , а у нас на конце числа , значит, в примере допущена ошибка. Где именно, мы не знаем, может, была допущена ошибка в умножении или в сложении, но то, что ошибка есть, мы уже поняли.

4)

Первым действием мы умножаем на и получаем , на конце . Вторым действием вычитаем: минус число, оканчивающееся на , и получаем на конце. Умножаем это на , дважды семь – получаем , после третьего действия получаем на конце . Наконец, вычитаем из число , получаем , которое должно стоять на конце. Значит, ответ неправильный.

Нужно быть очень аккуратными, если в вашем выражении присутствует знак деления.

1)

Если разделить это выражение просто, то получится . С другой стороны, если мы попробуем проверить это равенство по методу последней цифры, разделить на равно , что не подходит к уравнению. Метод последней цифры к делению не применяется. Если по последней цифре все совпало, это еще ничего не значит. Это значит, что мы не нашли противоречия в данном случае, но ошибка все же может быть.

Например:

2)

Понятно, что это уравнение изначально неправильное, но, если проверить по последней цифре, два умножить на два будет , и у нас в конце уравнения стоит . Поэтому, если по последней цифре не сошлось, значит, в уравнении есть ошибка. Если же сошлось, это ничего не значит, может, ошибка есть, а может, и нет.

Итак, давайте подведем краткий итог первого метода. Если у вас решен пример на вычисление, который не содержит деления, а содержит только натуральные числа, то вы можете проверить себя, проделав все вычисления устно только с последними цифрами. Если результат сошелся, значит, с большой вероятностью, ошибки нет. Если же результат не сошелся, то ищем ошибку.

Метод округления

Давайте рассмотрим следующий пример: .

По проверке последней цифры, умножить на , получаем , в конце числа , все в порядке, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, давайте сделаем простой предварительный подсчет. Если умножить на , уже получится , но у нас числа больше, чем , и мы получили в произведении только . Конечно, где-то закралась ошибка.

Такая очень грубая прикидка, такое округление, позволяет нам понять, что пример решен неверно.

2)

Опять же мы можем прикинуть по последней цифре и выяснить, что плюс – это , казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, сделаем грубую прикидку: каждое число округлим до тысяч: тысячи плюс тысячи получается тысяч, а в уравнении тысячи. Значит, в примере где-то есть ошибка.

3)

Этот пример показателен тем, что вы можете найти ошибку, пользуясь и первым методом, и вторым. Действительно, если вычесть из число , получаем , а в ответе последняя цифра . Уже неправильно. С другой стороны, давайте опять округлим до тысяч: тысячи минус тысячи получается тысяча, а у нас в примере тысяч.

4)

С последней цифрой все в порядке, семью семь – сорок девять, оканчивается на . Давайте сделаем округление: .

То есть ответ вроде правильный. Метод округления ошибку не выявляет. И этот пример действительно решен верно.

5)

Обратите внимание, что с последней цифрой все в порядке: умножить на будет , то есть оканчивается на плюс еще – и будет . Но давайте снова округлим до сотен.

Сами видите, что в левой части , а в правой – тысяч, равенство неверное. Значит, где-то допущена ошибка, при этом мы не знаем, где именно.

Таким образом, если мы хотим сделать проверку нашего примера с помощью прикидки или округления, мы должны сделать следующее: берем каждое число нашего примера и округляем его, то есть приравниваем его к ближайшему круглому числу. Проводим все вычисления с округленными числами и сравниваем тот ответ, который мы получаем с тем, который получился у нас в исходном примере. Естественно, ответы не должны полностью совпасть. Если они получились неравными, не паникуйте. Но они должны получиться близкими друг к другу. Если в примере ответ получился , а после округления ответ получился , значит, вы где-то ошиблись. Если же ответ у вас получился , а после округления , скорее всего, все правильно. Посмотрим еще на один пример: .

Давайте округлим: . О чем же говорит такой ответ? Формально, как вы видите, у нас в ответе 4 цифры, а при округлении получилось 3 цифры. То есть вроде бы мы ошиблись на целый порядок, наверное, ошибка есть. Но, если вы присмотритесь к этим числам, вы увидите, что эти числа близки: и . Если вы видите, что разница в количестве цифр есть, но реально она не велика, возможно, никакого противоречия нет. В данном случае пример верный.

Еще один маленький совет. Если задача имеет какой-то практический смысл, старайтесь проверять, подходит ответ под этот смысл или нет. Например, если в задаче требуется найти скорость велосипедиста, а у вас после вычисления получилось км/ч, скорее всего, вы ошиблись. Или предположим, вам нужно посчитать, сколько молока в литрах привезли на завод в сумме двух цистернах, а у вас получилось литра. Наверное, это все-таки маловато для двух цистерн, так что тоже, скорее всего, у вас ошибка.

Итоги

Давайте подведем краткие итоги сегодняшнего урока. Сегодня мы познакомились с некоторыми методами, которые позволяют проверить, правильным ли получился ваш ответ. Эти методы не дают стопроцентной гарантии того, что вы отыщете ошибку. Даже если с помощью каждого из методов все получается в порядке, возможно, в примере есть ошибка. С другой стороны, проверка каждого из этих методов занимает не очень много времени, и поэтому, если даже в трех случаях из десяти какой-то из этих методов даст вам возможность найти ошибку, это уже будет хорошо.

Список рекомендованной литературы

1. Гельфман Э. Г., Холодная О. В. Математика: учебник для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. – 2012.

2. Шварцбурд С. И. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. – М.: Просвещение. – 2012.

3. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 5 класс, 31-е изд., стер. – М.: 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «lifehacker.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «kp.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Каким методом вы обычно пользуетесь, что найти вычислительную ошибку в примере?

2. В чем заключается метод последней цифры? Приведите пример.

3. В чем заключается метод округления (прикидки)? Приведите пример.