07. Объём прямоугольного параллелепипеда

На этом уроке мы рассмотрим такие фигуры, как прямоугольник и параллелепипед. Научимся вычислять площадь с помощью прямоугольников и вычислять объём с помощью параллелепипедов. Также мы познакомимся с формулами площади и объёма и узнаем, как перевести одну единицу измерения в другую.

Введение

Прямоугольник — одна из самых простых плоских фигур, а одной из самых простых объёмных фигур или тел является прямоугольный параллелепипед. Они очень похожи. Так же похожи, как круг и шар.

Вычисление площади

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объёмы — с объёма прямоугольного параллелепипеда.

Площадь прямоугольника со сторонами  и  можно найти по формуле .

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры либо точно, либо приближённо.

Фигуру на рисунке 2 мы можем разбить на прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. .

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, мы всё равно можем вычислить её площадь с любой точностью.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счёт верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

Вычисление объёма

Такая же ситуация, когда речь идёт об объёмах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объём (рис. 4).

Формула площади прямоугольника

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной единица (рис. 5) имеет площадь в квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, — это площадь квадрата со стороной .

Площадь прямоугольника — это количество единичных квадратов, которые в него поместятся (рис. 6).

Измерим площадь прямоугольника со стороной и (рис. 7). Для измерения будем использовать единичный квадрат со стороной и площадью .

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось штук. В высоту помещается квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов (рис. 8).

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Мы с вами получаем формулу площади прямоугольника:

где  и  — две соседние стороны прямоугольника.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Очень похоже обстоят дела с объёмом прямоугольного параллелепипеда.

Объём куба со стороной единица — это кубическая единица (рис. 9). Опять же исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, — это объём куба со стороной , а — это объём куба со стороной .

Найдём объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами , ,  (рис. 10).

Решение:

Объём прямоугольного параллелепипеда — это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной вдоль длинной стороны (рис. 11).

Поместилось штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего таких рядов по штук в каждом (рис. 12), то есть всего:

Назовём это слой. Сколько таких слоёв мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна см. Значит, укладывается слоя, в каждом по штук (рис. 13). Всего:

А откуда у нас появилось число ? Это . То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трёх сторон.

Но это и есть объём нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: .

Теперь мы можем записать формулу в общем виде (рис. 14).

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объём получится в кубических сантиметрах ().

Если в метрах, то объём — в кубических метрах ().

Аналогично объём может быть измерен в кубических миллиметрах, кубических километрах и т. д.

Задача 1

Стеклянный куб со стороной наполнен водой целиком. Какова масса воды (рис. 15)?

Решение

Куб является единичным. Сторона — . Объём — .

Если мы знаем, сколько весит кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объём в .

Но имеет отдельное название — литр, то есть у нас литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна кг. То есть у нас кг воды, или тонна.

Ответ: т.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку (рис. 16).

Задача 2

Холодильник имеет высоту метра, ширину см и глубину см (рис. 17). Найдите его объём.

Решение

Прежде чем мы воспользуемся формулой объёма, необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Есть два варианта: можно перевести всё в метры, а можно перевести всё в сантиметры.

1) Переведём в метры: м; м; м.

2) Переведём в сантиметры: см; см; см.

Объём мы можем получить как в кубических метрах, так и в кубических сантиметрах.

1) В метрах: .

2) В сантиметрах: .

Ответ: 1) ; 2) .

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объём более понятен.

Человеческий мозг так устроен, что число с пятью нулями слабо отличает от числа с шестью нулями, а ведь одно в раз больше другого.

Как перевести единицы объёма?

Часто нам нужно перевести одни кубические единицы в другие. Например, кубометры в кубические дециметры или миллиметры. Эти соотношения известны.

Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно знать соотношение для линейных величин и понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной сантиметр поместится в куб со стороной м (рис. 18).

В один ряд укладывается штук (ведь в одном метре см).

В один слой укладывается рядов или  кубиков.

Всего помещается слоёв (рис. 19).

Всего  штук.

Таким образом, .

То есть, если линейные величины связаны соотношением «в одном метре см», то, чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести в степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Заодно мы увидели соотношение и для единиц площади. В одном квадратном метре квадратных сантиметров. В одном слое у нас было кубиков.

Кубометр воды весит тонну (рис. 15). Значит кубический километр воды весит:

Такими единицами пользуются при измерении количества воды в морях и океанах (рис. 20).

У одной тысячной существует своя приставка «милли».

миллиметр — это одна тысячная метра.

Эту приставку используют и здесь.

миллилитр воды имеет массу грамм.

Заключение

Сегодня на уроке мы узнали, как найти площадь и объём. А также научились переводить одни единицы объёма в другие.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. Периметр, площадь и объём

Проверьте себя

1. Как найти объем параллелепипеда?

2. Выразите в кубических сантиметрах:

   ; ;

3. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота соответственно равны: , , .

Список использованных источников:

Рис. 1–20. Иллюстратор Ракитина К. В.