05. Отрезок. Единицы измерения длины

На этом уроке мы продолжаем разговор о линиях и точках, расскажем, что такое отрезок, как он обозначается. Также вы узнаете о четырёх способах сравнения отрезков и узнаете о единицах измерения длины. В конце урока попрактикуемся в решении задач с использованием единиц измерения длины.

Отрезок. Отрезок и точка

Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Ещё говорят, что линия проходит через точку.

На рисунке 1 точка  не принадлежит линии , или линия  не проходит через точку . Точка  принадлежит линии , или линия  проходит через точку .

Пусть у нас есть две точки и (рисунок 2). Мы хотим провести линию через обе эти точки.

Сколько существует таких возможностей?

Давайте представим, что точка — это дом, а точка — это школа (рисунок 3).

Сколько существует дорог? Сколько существует способов дойти от дома до школы?

Наверное, если вы торопитесь, то немного. Мешающий дом можно обойти слева или справа. Получаем, например, два пути (рисунок 4).

Но если вы не торопитесь, то вы можете зайти ещё в несколько дворов, купить мороженого и через полчаса оказаться в школе (рисунок 5).

Если у вас времени ещё больше, несколько часов, то вы можете пройти вообще полгорода, и в итоге вы всё равно окажетесь в школе (рисунок 6).

Чтобы соединить точку A с точкой B, существует огромное количество способов (рисунок 7).

Нас чаще всего интересует кратчайший способ. Как из дома дойти до школы по кратчайшей дороге?

Это должно выглядеть следующим образом: вы выходите из дома, смотрите в сторону школы и напрямую через дома, через автомобили идёте к школе (рисунок 8).

Вот это была бы самая короткая дорога, если бы у вас была такая физическая возможность.

В геометрии то же самое. Кратчайшая линия между точками и — это прямая линия. Прикладываем линейку к точкам и и соединяем их (рисунок 9).

Вот такая прямая линия, самая короткая, называется отрезком (рисунок 10).

Обозначается отрезок своими концами — точками и . Если мы говорим о какой-то другой линии, проходящей через эти точки и , то нам нужно использовать ещё дополнительную точку. Например, линия , линия (рисунок 11).

Отрезок является линией, поэтому его взаимоотношения с точкой точно такие же. Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит отрезку.

На картинке (рис. 12) точка принадлежит отрезку , точки и не принадлежат отрезку . Концы отрезка, точки и , отрезку принадлежат.

Сравнение отрезков

Посмотрим на два отрезка на рисунке 13 и . Что про них можно сказать? Одно из самых простых наблюдений — это то, что отрезок  меньше, чем отрезок , он короче. . Мы с вами говорим о сравнении отрезков, о сравнении их длин.

Задача сравнения отрезков, их длины, встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, кто из них выше, чей рост больше.

Способы сравнения отрезков

Существуют разные способа сравнения отрезков. Мы с вами сформулируем 4 способа.

1 способ: на глаз.

Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.

На рисунке 13 отрезок  короче, чем отрезок . Как мы это определяем? Просто видим. Такой способ можно применять, если ответ очевиден.

По рисунку 14 мы видим, что папа выше сына (рисунок 14).

Телевышка выше дерева на рисунке 15.

Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.

2 способ: способ наложения.

Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмёт их вместе, зажмёт в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рисунок 16). По положению верхних краёв она поймёт, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.

Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Всегда ли это возможно?

Давайте представим: два отрезка, нарисованные на одном и том же тетрадном листе, сложно приложить один к другому (рисунок 17).

Для этого нужно как-то хитро согнуть лист, либо разрезать и приложить друг к другу. Посмотреть на просвет (рисунок 18).

Но мы обычно так не делаем.

3 способ: промежуточный измеритель

Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди.

В обычной жизни мы часто используем такой способ. Представьте себе ситуацию, что вы смотрите на диван и думаете, пройдёт этот диван в дверной проём или нет. Что вы делаете в такой ситуации? Вы подходите к дивану и руками измеряете его самое большое расстояние, его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходите к дверному проёму и проверяете, хватит ли ширины дверей.

Чтобы не ошибиться можно взять более точный промежуточный измеритель. Например, ленту или верёвку. Если приложить нитку к одному предмету, потом её же к другому, сразу будет понятно, какой из предметов длиннее.

В математике для этой цели используются специальный измеритель — циркуль.

Пусть нужно сравнить два отрезка  и  (рисунок 19).

Совмещаем концы (иголки) измерителя с концами отрезка  (рис. 20) и, не меняя раствора измерителя, подносим его к другому отрезку (рис. 21).

Мы убеждаемся, что отрезки равны. Записывают это так: .

Или может оказаться такая ситуация (рисунок 22).

Отрезок  не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка  (рис. 23).

Отрезок  меньше отрезка , так как является его частью.

.

Отрезок  меньше отрезка , потому что равен его части.

.

4 способ: измерение отрезков

Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы её не знали.

Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.

Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить.

Так, если два человека знают, что рост одного составляет м см, а другого — м см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять. Причём не просто выше, а ровно на сантиметра.

Для измерения длин отрезков необходим инструмент — линейка.

Давайте посмотрим. Два отрезка мы измеряем линейкой. На рисунке 24 мы видим, что длина первого отрезка составляет см, второго — см.

Прикладывать отрезки друг к другу не нужно. И так понятно, что второй отрезок длиннее первого. Причём длиннее ровно на сантиметр.

А что было бы, если один отрезок измерял один человек, а второй — другой человек, другой линейкой, да ещё и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления — сантиметры и миллиметры.

Единицы измерения длины

• Метр

Одна из самых распространённых единиц измерения длины — это метр.

Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение слова, не ставится.

Все остальные единицы измерения либо очень больших объектов, либо намного более мелких получаются из метра.

• Километр

Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.

Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.

В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.

Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга отрезком (рисунок 25), то его длина будет равна км, или метров.

• Дециметр

Для измерения длин небольших объектов используют более мелкие единицы. Разделим метр на частей. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «деци-» перед словом «метр».

Приставка «деци» означает одну десятую, что в десять раз меньше. Обозначается дециметр буквами «дм».

• Сантиметр

Разделим метр на . Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «санти-» перед словом «метр». Приставка «санти» означает одну сотую, что-то, в сто раз меньшее. Обозначается сантиметр буквами «см».

• Миллиметр

Разделим метр на . Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «милли» перед словом «метр». Приставка «милли» означает одну тысячную, что-то, в тысячу раз меньшее. Обозначается миллиметр буквами «мм».

Взаимосвязь единиц длины

Кроме понимания, сколько в метре содержится дециметров, сантиметров и миллиметров, полезно запомнить и соотношения напрямую между соседними единицами.

Мы делили метр на , и частей. Но это равносильно делению на уже полученных единиц. То есть поделили метр на — получили дециметр. Поделили ещё раз на — получили сантиметр. Ещё раз на — получили миллиметр.

Посмотрим ещё раз на все эти единицы измерения вместе. Метр примерно можно описать как расстояние от плеча одной руки до вытянутых кончиков пальцев другой руки (рисунок 26).

На рисунке 27 деления на верхней линейке — сантиметры. В метре сантиметров. На нижней линейке сантиметры разделены на делений. Это миллиметры.

Дециметры обычно не отмечают на линейках и не делают для них специальных делений. Так сложилось, что в жизни редко используют эту величину. Мы почти не слышим слова «дециметр», хотя слова «сантиметр» и «миллиметр» можем услышать достаточно часто. В различных задачах эта единица бывает часто, и, чтобы решать их, нужно обязательно помнить, что это такое.

Рост человека измеряют или только в сантиметрах, или в метрах и сантиметрах. Если рост человека составляет м см, то каков его рост в сантиметрах (рисунок 28)?

Так как м равен сантиметрам, то рост равен .

Рост Петра Первого составлял см (рисунок 29). Как его рост записать другим способом?

Задача.

Дорога длиной км и шириной м см выложена квадратной плиткой со стороной дм. Сколько плиток понадобилось, чтобы выложить всю дорогу?

Решение

Найдём сначала, сколько плиток помещается в ширину дороги.

Для этого нужно ширину дороги разделить на размер стороны плитки, но перед этим нужно указать эти размеры в одинаковых единицах измерения.

Ширина дороги: .

В ширину дороги укладывается дм: , то есть дорожка в раза шире, чем плитка. Значит, в ширину помещается плитки.

Теперь посчитаем, сколько плиток помещается в длину.

Длина дороги:

Разделим эту длину на длину плитки, на дм.

Итак, в длину укладывается плиток, а в ширину — штуки.

Всего необходимо .

Ответ: плиток.

На этом мы закончим разговор про отрезки и единицы измерения длины отрезков.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. Интернет-портал «spacemath.xyz»

Проверьте себя.

Выразите:

1. в дециметрах.

2. в сантиметрах.

3. в метрах.

4. в километрах и метрах.

Список использованных источников:

Рис. 1–30. Иллюстратор Ракитина К. В.