05. Порядок выполнения действий

На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.

Введение

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны.

Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (рис. 1).

В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания — запятая, который очень сильно на этот смысл влияет.

В математическом языке тоже есть такой знак препинания — это скобки.

Пример 1

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6:

Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется:

.

Роль скобок. Порядок операций

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

Сложение и вычитание — равноправные действия

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

Умножение и деление — равноправные действия

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

Действия в скобках в первую очередь

Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок.

Выполняем сначала умножение, потом сложение.

Но если заключить действие сложения в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым.

Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

Пример 2

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

Порядок выполнения действий

• действия в скобках

• умножение и деление

• сложение и вычитание

Пример 3

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках — умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

Пример 4

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

Пример 5

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Мы каждый раз выполняли по одному действию, остальные просто переписывали.

Если какие-то действия не влияют друг на друга, то их можно выполнить одновременно (параллельно). Вернёмся к примеру и расставим последовательность действий.

1 и 3 действия не влияют друг на друга. Их можно выполнить одновременно. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во-вторых. 1, 3 и 5 действия можно сделать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Времени потратили намного меньше, чем в первом решении. Запись получилась короче.

Этот приём одновременных вычислений требует определённой тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

Заключение

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

Проверь себя

Выполните вычисления:

Список использованных источников:

Рис. 1. Иллюстратор Ракитина К. В.