Проценты (Слупко М.В.)

На этом уроке мы узнаем, что такое проценты, где они встречаются и как с ними работать. Решим несколько примеров на вычисление процентов.

Прочитаем на латыни . Это будет звучать как «3 pro centum – 3 на сотню». Или в русском варианте «3 процента». То есть процент – это название «сотая» по-латыни. Кроме названия, есть и свой символ .

Процент — сотая доля числа, принимаемого за целое (обозначается знаком %).

Зачем нужны проценты? В математике не нужны. В математике уже есть десятичные дроби, в том числе сотые. Проценты — это договорённость, чтобы лучше понимать друг друга в таких науках, как экономика, статистика, социология и т. д.

Задача

В одном классе учится 25 человек, из них 21 хорошист, в другом 30 человек, из них 24 хорошиста (рис. 1). Где успеваемость выше?

Решение

В одном классе хорошисты составляют  часть, а во втором –  части. Где этот показатель выше, то есть какая из этих дробей больше? Чтобы понять, нужно привести дроби к одному знаменателю и сравнить. Во многих профессиях (экономика, финансы) договорились такие показатели сразу считать со знаменателем 100.

Приведем наши дроби к знаменателю :

1)

2)

Теперь все просто: .

Но это и есть проценты:

.

Ответ: в первом классе успеваемость выше, чем во втором.

Эквивалентные записи

Итак, в математике 10-е, 100-е, 1000-е. В финансах, экономике – проценты. Потренируемся переходить от одной эквивалентной записи к другой и наоборот.

1. Сметана имеет жирность  (Рис. 2). Как это сказать по-другому?

1. минут – это четверть часа (Рис. 3). Как то же самое сказать с использованием процентов?

3. В этом году выпало  осадков от нормы (Рис. 4). Как это можно сказать по-другому?

Ну, во-первых,  – это на  больше, чем . То есть можно сказать «выпало на  больше обычного».

Если перевести в десятичную дробь, то можно сказать, что в этом году осадки составили  от нормы (или на  больше обычного).

Переход от процентов к десятичной дроби

Десятичные дроби — удобный математический инструмент для расчётов. Если нужно решить задачу на проценты, то рекомендуется от процентов перейти к эквивалентной записи в виде десятичной дроби.

Навык этого перехода мы сейчас с вами и потренируем.

Переведите проценты в дробь: 5 %, 13 %, 25 %, 50 %, 85 %, 99 %, 100 %, 123 %, 5487 %. Попробуйте выполнить самостоятельно, а затем ниже проверить.

Пример:

Может случиться, что самих процентов окажется дробное количество. Никакого значения для нас это не имеет.  (шесть с половиной процентов). Уменьшаем в  раз, т.е. переносим десятичную запятую влево на две позиции: .

Итак, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно количество процентов уменьшить в 100 раз (сдвинуть запятую влево на 2 позиции)

Переход от десятичной дроби к процентам

В задачах на проценты часто и ответ надо дать в процентах. Потренируемся делать переход в обратную сторону, десятичную дробь записывать в процентах.

Задача

Переведите десятичные дроби в проценты: 0,04; 0,16; 0,69; 1,45; 2; 10; 2,125; 1245,12598. Попробуйте выполнить самостоятельно, а затем ниже проверить.

Итак:

• чтобы перейти от записи в процентах к записи в десятичных дробях, нужно число уменьшить в 100 раз, перенести запятую влево на две позиции;

• чтобы совершить обратный переход от записи в виде десятичной дроби к процентам, нужно увеличить число в 100 раз, перенести запятую вправо на две позиции.

Промежуточный итог

Давайте подведем итог.

• Мы разобрались, что такое процент. Это международное название для одной сотой.

• Мы научились переходить от одной эквивалентной записи к другой. От процентов, которые используются во многих науках к десятичным дробям (т.е. уже к математическому инструменту), и обратно.

Нахождение процента от числа

Задача

Найти от .

Решение

Так как , то теперь задача для нас звучит так – «найти  от ».

Но, чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь: .

Итак, от  это .

Ответ: .

Задача

От  найти .

Попробуйте выполнить самостоятельно, а затем ниже проверить.

На следующем уроке мы подробно рассмотрим, какие виды задач на проценты обычно встречаются, и научимся их решать. Рассмотрим общий алгоритм решения любой задачи на проценты.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «spacemath.xyz».

3. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверь

1. Переведите десятичную дробь в проценты: а) 0,16; б) 0,0057; в) 53,128; 1,167.

2. Переведите проценты в десятичную дробь: а) 15 %; б) 123 %; в) 0,8 %; г) 5,673 %.

3. Найдите:

• 7 % от 200 м;

• 0,6 % от 400 г;

• 0,7 % от 900 кг;

• 2,5 % от 500 дм.