07. Задачи на движение

На этом уроке вы узнаете, что такое алгоритмы и как ими пользоваться при решении задач. Изучите понятие скорости и решите несколько задач для закрепления материала. А также вместе с учителем составите алгоритм решения задач на движение.

Алгоритм

При поиске клада следует иметь подробные указания, как это делать. Например:

«Встань под высоким дубом лицом на север. Иди прямо 52 метра, поверни направо и иди еще 35 метров. Остановись. Копай на 80 сантиметров вглубь».

Если в инструкции сказано всё верно, то клад наш, можно не сомневаться.

Другой пример. Мы купили новый телевизор, нам нужно его подготовить к работе, включить, настроить каналы. Мы можем делать это сами, нажимая на все кнопки, но в коробке есть инструкция:

«…подключите электрический кабель к телевизору, потом к розетке, подключите в разъем сзади антенну. Нажмите кнопку «вкл.» на телевизоре, дождитесь синего экрана, нажмите на пульте кнопку «меню», клавишей «вниз» выберите «автоматическая настройка каналов»…».

Имея такую инструкцию, подробную подсказку, мы настроим наш телевизор намного быстрее и не испортим его.

Перед нами стояли разные задачи — найти клад, настроить телевизор. И мы решали их с помощью инструкции, подробного объяснения, как это делать. Они не обязательны, но часто бывают полезны. Такая инструкция-подсказка называется алгоритмом.

Алгоритм — последовательность действий, приводящих к конкретному результату.

Казалось бы, какая связь между темой урока «Задачи на движение» и телевизором, поиски клада? Всё дело в алгоритмах. Для задач на движение, а также для многих других задач, существуют примерно такие же алгоритмы. Если следуем алгоритму, то на выходе получаем решение задачи.

Отвлечёмся от кладов и телевизоров и перейдём к рассмотрению задач на движение.

Примеры задач на движение

Пример 1

По дороге едет автомобиль и едет велосипедист.

Автомобиль едет быстрее велосипедиста.

Петя очень быстро ест, нужно есть медленнее.

Лена читает медленнее Вани.

Во всех этих примерах сравнивается скорость. Машина и велосипедист едут. Скорость движения машины больше скорости велосипедиста. Петя быстро ест. Его скорость приёма пищи очень большая. Лена и Ваня читают. Скорость чтения Лены меньше скорости чтения Вани.

Пример 2

Пешеход прошел за час км. Какова его скорость?

, ,

Тут всё понятно. километров прошёл за час. Это и есть его скорость.

Пример 3

Пешеход прошел за часа км. Какова его скорость?

, ,

Понятно, что его скорость не изменилась. За час он проходил километров, за часа — километров. То есть скорость та же самая — км/ч.

Пример 4

Велосипедист проехал за часа км. Какова его скорость?

, ,

За часа он проехал км, значит, за час в три раза меньше.

Пример 5

Оля за часа съела пирожков. Петя за часа съел пирожков. Ваня за часа съел пирожков. Каковы их скорости, кто ест быстрее всех, кто медленнее всех?

Оля:

Петя:

Ваня:

Ответ: самая низкая скорость у Оли, а самая большая — у Вани.

Пример 6

Маша прочитала слов за минут, а Петя — слов за минуты. У кого скорость чтения больше?

Маша:

Петя:

Ответ: скорость чтения Маши ниже, чем скорость чтения Пети.

Во всех примерах скорость мы искали одинаковым способом. У нас был единый алгоритм, инструкция.

Алгоритм вычисления скорости

Чтобы найти скорость, нужно взять то, что изменялось, — пройденное расстояние, количество съеденных пирожков, количество прочитанных слов, количество деталей, объём воды и так далее — и поделить на время, за которое эта величина изменилась.

Таким образом у нас есть алгоритм, который выражается в виде формулы.

— расстояние,  — время:

 — количество,  — время:

— объём,  — время:

В итоге мы получим скорость движения, скорость поедания пирожков, скорость чтения, скорость работы, скорость наполнения бассейна водой и тому подобное.

Не всегда нам нужно искать скорость, она уже может быть известна, а необходимо найти расстояние, количество прочитанных слов. Может оказаться, что нужно найти время, которое понадобилось для всего этого.

Пример 7

Пешеход движется со скоростью км/ч. Какое расстояние он пройдёт за часа?

Ответ: км.

Пример 8

Завод выпускает автомобилей в день, сколько дней ему понадобится, чтобы выпустить автомобилей?

Ответ: 6 дней.

То есть, кроме формулы для вычисления скорости, мы имеем ещё две, для нахождения расстояния (количества, объёма) и для нахождения времени.

Формулы для нахождения расстояние и времени

Зная две величины, мы всегда можем найти третью. Формулы дают алгоритм этого. Нужно подставить в них известные величины и посчитать.

А если задача окажется сложнее, чем просто по двум известным величинам найти третью, неизвестную? На это тоже есть алгоритм, инструкция для решения таких задач.

Алгоритм решения более сложных задач

Шаг 1

Задача имеет текстовое описание, она написана на русском языке. Первый шаг заключается в том, что мы читаем задачу и пытаемся представить, что же всё-таки происходит. Мы пытаемся увидеть участников событий. Для каждого из них выделить те величины, которые им соответствуют. Это будут скорости, время, расстояния, съеденные пирожки, прочитанные слова и так далее.

Задача 1 шаг 1

Первый рабочий делает деталей за час, а второй — за час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за часов?

Решение:

Двое рабочих работают вместе, но у каждого своя скорость, каждый производит своё количество. Введём обозначения для каждого.

 — количество деталей, которое произведёт первый рабочий.

 — скорость, с которой работает первый рабочий.

— количество деталей, которое произведёт второй рабочий.

 – скорость, с которой работает второй рабочий.

– количество деталей, которое произведут оба рабочих вместе.

 – время, за которое оба рабочих произведут нужное количество деталей.

Задача 2 шаг 1

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скоростью км/ч. Навстречу ему час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на км/ч больше, и ещё через часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

Решение:

Есть пункты  и . И расстояние между ними обозначаем .

Пешеход движется некоторое время со своей скоростью и проходит какое-то расстояние.

Обозначим эти величины:

 — путь, который преодолел пешеход.

 — скорость пешехода.

 — время, за которое пешеход преодолел пройденное расстояние.

Велосипедист также двигался с определённой скоростью, определённое время и преодолел некоторое расстояние. Обозначим эти величины:

 — путь, который преодолел велосипедист.

 — скорость велосипедиста.

 — время, за которое велосипедист преодолел расстояние.

Перечислены все физические величины.

Шаг 2

Второй шаг — это, используя буквенные обозначения, записать все условия задачи.

Задача 1 шаг 2

Первый рабочий делает деталей в час, а второй — деталей в час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за часов?

Решение:

Обозначения введены. Запишем все условия:

Первый рабочий делает деталей в час. Это его скорость.

Второй — деталей в час.

Сколько сделают деталей оба рабочих вместе? Работают вместе, общее количество деталей равно сумме того, что сделал каждый.

За часов. Значит время работы равно .

Найти надо общее количество.

— ?

Вернёмся к второй задаче.

Задача 2 шаг 2

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость км/ч. Навстречу ему час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на км/ч больше, и ещё через часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

Решение:

У нас выписаны все обозначения для всех физических величин. Перепишем условие на математический язык.

«Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость км/ч».

Скорость пешехода равна км/ч.

«Навстречу ему, час спустя…».

То есть велосипедист выехал на час позже, а закончили они движение одновременно, когда встретились. Это значит, что время велосипедиста на час меньше или время пешехода на час больше, как удобнее.

 или

На самом деле достаточно одного из этих условий.

«со скоростью на км/ч больше…»

И через часа он встретил пешехода. часа — это время велосипедиста.

Нужно найти расстояние между пунктами  и .

— ?

Читаем ещё раз условие, чтобы убедиться, что мы записали всё на математический язык.

Мы не записали нигде, что пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу и встретились. Каждый из них преодолел своё расстояние, а вместе они проделали всё расстояние от до .

Итак, для всех задач введены обозначения всех величин (шаг 1 алгоритма), переписаны все условия на математическом языке (шаг 2 алгоритма).

Шаг 3

Основная часть работы уже сделана. Следующий шаг уже подводит к ответу. А именно, нам нужно найти то условие, куда входит искомая величина, и подставить туда все остальные условия, всё, что мы знаем.

Задача 1 шаг 3

Нам нужно найти .

Берём условие .

Нам нужно подставить туда значения  и , но у нас их нет. Но мы знаем формулу, по которой считаются эти количества. Чтобы найти количество, нужно скорость умножить на время.

Эти величины нам все известны. Подставляем их.

Ответ: детали.

Задача 2 шаг 3

Ищем расстояние  между пунктами  и . Берём то условие, которое его и содержит.

Если бы мы знали, чему равны  и , то решили бы сразу, но так как мы не знаем, то используем формулу для вычисления расстояния: расстояние — это скорость, умноженная на время.

Нам известны  и , и неизвестны  и , но для них есть их выражения.

В правой части уравнения все известные величины, подставляем туда их значения:

Ответ: км.

Заключение

В задачах на скорость всегда есть три величины:

 — скорость

 — время

 — расстояние (количество пирожков или деталей, объём воды)

Если известны две из них, то всегда можно найти третью. Для этого у нас есть три формулы:

Для решения задач на скорость используется алгоритм:

1. Обозначить все величины буквами.

2. Переписать все условия с помощью обозначений, этих букв.

3. Выбрать условие, которое содержит искомую величину.

4. Подставить туда все остальные условия.

5. Решить уравнение.

6. Записать ответ на вопрос задачи.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. Интернет-портал «spacemath.xyz»

Проверь себя

Решите задачи.

1. За часа катер преодолел расстояние в км. Какое расстояние он пройдет за часов, если его скорость увеличится на км/ч?

2. От города до посёлка — километров, а от этого посёлка до следующего — км. Сколько времени понадобится, чтобы доехать от города до последнего посёлка, если двигаться со скоростью км/час?

3. Скворец летел со скоростью км/час часа. С какой скоростью летит ворона, если такое же расстояние она пролетит за часа?

Список использованных источников:

Рис. 1–3. Иллюстратор Ракитина К. В.