05. Решение задач на проценты

На этом уроке мы научимся решать разные задачи с использованием процентов. А также узнаем возможные виды задач, применяя общую схему для их решения.

Введение

Есть три типа задач на проценты. На этом уроке мы научимся решать задачи всех этих типов.

Во всех таких задачах есть:

• — исходное количество;

•  — проценты (в виде дроби);

•  — результат

Эти величины связаны равенством:

Как представить проценты в виде дроби, рассказано в уроке Проценты.

Найти несколько процентов от числа — это то же самое, что найти дробь от числа, ведь проценты — это тоже дробь. Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Например, чтобы найтиот 10, нужно 10 умножить на эту дробь: 

Точно так же, чтобы найти несколько процентов от числа, мы можем проценты записать в более привычном для нас виде, десятичной дробью, и получить эквивалентную задачу — найти дробь от числаДля этого нужно числоумножить на эту дробь:

Задача. Найдите 20 % от 500.

Перепишем проценты в виде десятичной дроби: 

Найдём 0,2 от 500: 

Ответ: 100.

Таким образом, задачу «найти 20 % от 500» мы сформулировали в эквивалентном виде «найти 0,2 от 500» и решили её.

Типы задач

Вернёмся к равенству , где

•  — исходное количество;

• — проценты (в виде дроби);

• — результат

Задача появляется, когда одно из этих трёх значений неизвестно.

• Известныи. То есть исходное количество и проценты. Не известен результат:.

• Неизвестно исходное количество, зато известно, чему равно некоторое количество процентов от него. Неизвестно значение, известныи .

• Известно исходное количество и его часть, нужно определить, сколько процентов эта часть составляет, то есть найти.

Этими тремя случаями всё и исчерпывается. Рассмотрим их более подробно.

Первый тип задач (известно исходное количество и проценты)

Задача. В школе учится 800 человек, 55% — это девочки, 5% из них — отличницы. Сколько девочек учится в школе? Сколько в школе отличниц?

Решение

Начнём с первого вопроса: сколько в школе девочек? Используем наш алгоритм:.

Нам известно общее число школьников и сколько процентов из них девочки. Заменим 55 % десятичной дробью:. То есть девочки составляют 0,55 от общего количества учащихся. Чтобы найти дробь от числа, их нужно перемножить: 

В школе учится 440 девочек.

Найдём теперь число отличниц среди девочек. Отличниц 5 % от 440. Подставим сразу значение в виде десятичной дроби: 

В школе 22 отличницы.

Ответ: в школе 440 девочек, из них 22 отличницы.

Задача. В этом году выпало 124% осадков от нормы. Норма — 550 мм. Сколько выпало осадков?

Решение

Найдём 124 % от 550. Мы снова знаем исходное количество и число процентов. Неизвестен результат. Запишем проценты в виде десятичной дроби:

Подставим в наш алгоритм: 

Ответ: выпало 682 мм осадков.

Задача. Яблоки стоили 80 рублей за килограмм. Цена выросла на 15 %. Какова новая цена?

Решение

1 способ: найдём, на сколько выросла цена.

Теперь добавим эту добавку к исходной цене: 

2 способ: Сколько процентов от старой цены составляет новая? Была 100 %, увеличилась на 15 %, стала. То есть надо найти 115 % от исходной цены. 

Ответ: новая цена — 92 рубля за килограмм.

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно представить, сколько процентов получится в итоге. И решить эту задачу по общему алгоритму.

Задача. Увеличьте 100 на 15 %, на 115 %.

Увеличение на 15 % означает, что в итоге будет 115 %. Найдем 115 % от 100: 

Увеличение на 115 % означает, что в итоге будет 215 %. Найдём 215 % от 100: 

Ответ: 115; 215.

Такая же ситуация возникает, если нужно уменьшить какое-то количество на несколько процентов. Нужно понять, сколько процентов будет в итоге и решить задачу по общему алгоритму.

Пример. Уменьшите 80 на 25 %.

Так как число уменьшилось на 25 %, значит, от него осталось.

То есть нужно найти 75 % от числа 80: 

Второй тип задач (неизвестно исходное количество)

Задача. 25 % выпускников сдали все экзамены на отлично. Сколько всего выпускников, если отличников 40 человек?

Решение

Применяем наш алгоритм:.

Нам неизвестно общее число учеников — это  . Зато нам известно, что 25 % от них — это 40 человек. Подставим известные значения: 

Осталось найти. Выразим: 

Получаем 160 выпускников.

Проверим: найдём 25 % от общего количества учеников, от 160: 

Всё верно.

Ответ: 160 выпускников.

•  — исходное количество;

•  — проценты (в виде дроби);

•  — результат

Задача. Чему равно число, если его 90 % равны 270?

Решение

. Подставляем известные величины: 

Выражаем: 

Ответ: 300.

Задача. Цена выросла на 10 % и составила 330 рублей. Какова была начальная цена?

Решение

Снова наш алгоритм:.— начальная цена,— цена после увеличения.

Чтобы увеличить ценуна 10 %, нужно умножить ее на 1,1, получим новую цену 330: 

Осталось выразить и найти начальную цену: 

Ответ: 300 рублей.

Третий тип задач (неизвестен процент)

Задача. В классе 30 человек, из них 6 отличников. Сколько процентов отличников в классе?

Решение 

Мы знаем исходное число и сколько получилось в итоге. Но не знаем сколько процентов это составляет:. Подставим известные значения: 

Выразим: 

Ответ: в классе 20 % отличников.

Задача. На сколько процентов выросла цена, если была 120 рублей, а стала 150 рублей?

Решение

Известны начальная и новая цены. Неизвестно, на сколько процентов она изменилась:. Подставляем известные значения: 

Выражаем:

125 % — это, сколько новая цена составляет от старой. Следовательно, цена выросла на 25 %.

Ответ: цена выросла на 25 %.

Заключение

Все задачи на проценты решаются по единому алгоритму.

Выписываем строчку.

— исходное число,— проценты, переведенные в десятичную дробь,— результат.

Теперь, читаем задачу. Смотрим, какие из этих чисел нам известны. Должны быть известны два. Третье находим.

Пользуясь этим алгоритмом, мы можем решить любую задачу на проценты.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «spacemath.xyz.

3. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверь себя

1. В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 20 % учеников написали на оценку 5, 35 % учеников написали на оценку 4, 15 % учеников получили оценку 2. Сколько пятёрок, четвёрок, троек и двоек получил класс?

2. Токарю нужно было выточить 140 деталей, но он перевыполнил план на 10 %. Сколько деталей выточил токарь?

3. За 1 час станок-автомат изготавливал 260 деталей. После модернизации этот станок стал изготавливать в час 299 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка?