06. Степень числа. Квадрат и куб числа

Определение степени

Мы с вами знаем, что если дана сумма одинаковых слагаемых, например,

 , то её можно записать как , или, например,

Мы видим, что первое число в правых частях равенств показывает, сколько элементов мы складывали, а второе – какие элементы мы складывали.

Было бы неплохо, если бы для умножения тоже существовала более компактная запись. Например, для того чтобы упростить запись такого выражения .

Такая запись есть. Она называется четвертой степенью числа 3. Почему четвертой? Потому что троек у нас 4 штуки.

Так выглядит данная запись:

Читается как «три в четвертой степени» или «три в четвертой».

Такая запись читается как «икс в пятой степени» или «икс в пятой».

Квадрат и куб

У второй и третьей степеней есть свои названия.

Когда мы n умножим на n, получим n во второй степени. Но также мы можем сказать, что получили n в квадрате. Если у нас есть квадрат со стороной, равной n, то его площадь равна

Если а умножим на себя три раза, то получим a в третьей степени:

Обычно про такую запись говорят не a в третьей степени, а a в кубе. Ведь объем кубика со стороной a равен

Пример 1. 

Пример 2.

Пример 3.

Есть ли первая степень? Да, есть. Если степень равна 1, значит, у нас есть один сомножитель. Например, ,  

Нулевая степень

Нулевая степень означает, что мы рассматриваем 0 сомножителей.

Принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1.

Решение примеров со степенями

Пример 4. Представьте произведение в виде степени.

1)    

У элементов степени есть специальные названия. То, что мы возводим в степень, называется основанием степени. В нашем примере это 10. Число, обозначающее степень, называется показателем. В нашем примере это 4.

2)             

3)      

Пример 5. Представьте степень в виде произведения.

1) 

2) 

3) 

Пример 6. Вычислите сумму квадратов чисел 5 и 4.

Что такое сумма квадратов? Данная запись выглядит так:

То есть сначала мы возводим каждое число в степень, а затем складываем.

Стоит отличать данную запись от следующей:

В таком случае мы сначала складываем, а потом возводим в степень.

Пример 7. Вычислите куб разности чисел 2 и 1.

Сначала нам необходимо найти разность, а потом полученное число возвести в третью степень:

Совершенно другой результат мы получим при вычислении разности кубов, то есть если мы сначала возведем числа в третью степень, а затем выполним вычитание.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Возведем число 35 в квадрат:

Возьмем первую цифру нашего числа – 3 – и умножим ее на следующую, то есть ту, которая идет после нее в натуральном ряду – 4. Получим 12. Теперь просто припишем к 12 число 25:

Мы получили число тысяча двести двадцать пять.

1)

2)

Почти то же самое работает и для трехзначных чисел. Только теперь мы берем не цифру, которая стояла перед цифрой 5, а число. Например,

Получили одиннадцать тысяч двадцать пять.

Заключение

Мы познакомились с такими понятиями, как квадрат и куб числа, кроме того, дали чуть более сложное определение степени; узнали, что такое показатель степень, основание степени; научились преобразовывать произведение одинаковых чисел в степень и наоборот.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «budu5.com»‎ (Источник)

2. Интернет-портал «uchitelya.com»‎ (Источник)

Домашнее задание

1. Представьте в виде степени произведение:

а)

б)

в)

г)

1. Запишите выражение в виде степени и вычислите значение:

а) 2 в квадрате

б) 3 в пятой степени

в) 7 в кубе

1. Представьте степень в виде произведения:

а)

б)

в)

г)