01. Умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,01

На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

Умножение чисел на 10, 100

Пример. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичная запись данного числа — это сокращенная запись суммы. А именно:

Таким образом, на 10 нужно умножить сумму. Для этого есть распределительный закон умножения. Нужно умножить каждое слагаемое на 10:

В конце мы записали кратко ту сумму, которая у нас получилась.

Получается, что Можно сделать вывод: для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

Пример. Умножить 1265,8457 на 10.

Запятую нужно сдвинуть вправо на одну позицию.

А если нужно умножить десятичную дробь на 100?

Умножить на 100 — это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза, то есть на две позиции.

Пример. Умножить 25,486 на 100.

Деление чисел на 10, 100

Как десятичную дробь разделить на 10? Проведём точно такие же рассуждения.

Пример. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае, представим число 25,78 в виде суммы:

Так как нужно поделить сумму, то здесь работает распределительный закон, каждое слагаемое нужно разделить на 10:

Получили, что .

То есть, чтобы разделить десятичную дробь на 10, нужно десятичную запятую сдвинуть влево на одну позицию.

Понятно, что для того чтобы разделить десятичную дробь на 100, нужно два раза разделить на 10. Нам два раза придётся сдвигать запятую влево. То есть на две позиции.

Пример. Разделить 124,478 на 100.

Разделить на 100 — это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

Примеры, когда необходимо сдвинуть запятую, а цифр уже не осталось

Может возникнуть такая ситуация, что нужно сдвинуть запятую вправо или влево на несколько позиций, а цифры кончились, сдвигать некуда.

Примеры

1)

Умножить на 100 — значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

2)

Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись. В дробной части, в конце можно приписать любое количество нулей.

Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то объяснение ниже поможет в этом разобраться.

3)

Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево.

Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

4)

Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом цифр не хватает, то мы дописываем, нужное нам, количество нулей. В данном случае нам достаточно двух нулей. Сдвигаем запятую и получаем ответ.

5)

Нужно сдвинуть запятую влево на две позиции. Только где эта запятая? Стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

Умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 — очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

Пример. Умножить 25,34 на 0,1.

Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на — то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

Аналогично умножить на 0,01 — это разделить на 100. Запятую нужно сдвинуть влево на две позиции:

Пример.

Мы уже знаем, что нужно сдвинуть запятую влево на одну позицию. Получаем:

Воспользуемся тем свойством, что умножение и деление — взаимно обратные операции. Тогда, поделив на 0,1, мы должны вернуться к тому числу, с которого начинали:

Таким образом, деление на 0,1 означает сдвиг запятой вправо на одну позицию. То есть деление на 0,1 равносильно умножению на 10.

Решение примеров

Решите самостоятельно примеры для закрепления материала. Затем выполните проверку.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Заключение

На этом уроке было изучено правила деления и умножения на 10, 100 и 1000. Кроме того, были рассмотрены правила умножения и деления на 0,1, 0,01, 0,001.

Примеры на применения данных правил были рассмотрены и решены.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «math-prosto».

3. Интернет-портал «spacemath.xyz».

Проверьте себя

1. Вычислите:

а)   

б)  

1. Вычислите:

а)   

б)  

1. Сравните значения выражений:

 и