04. Упрощение выражений

Введение

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

Числовые и буквенные выражения

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение

. Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум:

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения

. Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью:

, то вычисления были бы мгновенными:.

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Пример. Упрощение выражения

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение:

Решение

1. Выполним действия в первых и во вторых скобках:

2. Вычислим произведения:

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Правила упрощения выражений

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1. выполнить все возможные действия,

2. пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

 Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

1. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

1. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

1. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

1. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Примеры

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1. Представим как .

2. Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: .

3.  можно представить как и выполнить умножение: .

1. Заменим первый множитель эквивалентной суммой: .

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

Решение

1. Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

1. Вынесем за скобки общий множитель

Задача

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни – , прихожей – . Есть три вида линолеумов: по, ирублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (рис. 1)

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

(руб.) – на кухню

(руб.) – в прихожую

 (руб.)

И так еще считать для двух видов линолеума… Можно ли упростить себе расчеты? Да, можно.

Способ 2. Пусть цена линолеума p. Тогда, чтобы купить линолеум на кухню, нужно 12p руб., а на линолеум в прихожую – 8p руб. Тогда на всю покупку нужно 12p+8p=20p руб. Осталось вместо p подставлять разную стоимость линолеума. Таким образом, мы упростили задачу, что дало нам формулу для расчета. Подставим:

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.: илл.

2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс – М.: Мнемозина.

3. Истомина И. Б. Математика, 5 класс – М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

Домашнее задание

• Виленкин Н. Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 85 чит., ст. 86 № 558, 562, повтори основные свойства сложения и вычитания, умножения и деления, которыми необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения.

• Найди значение выражений, применяя распределительный закон умножения (вынесите общий множитель за скобки):

  а)

  б)

  в)

• Какими правилами необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения?

Упрости данные выражения:

• * Придумай задачу и реши её по выражению: .