05. Уравнения. Решение задач с помощью уравнений

Введение

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства:

Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например,

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за x в нем стоит.

Решение задач

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой 2 килограмма, а на другую гирю массой 5 килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза 3 кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой 3 кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по 2 и 5 кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть x – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес x+2. По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится 5 кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ: 3 кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

Решение уравнений путем переноса слагаемых

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

Дано: через 15 лет Коле исполнится 21. Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть x – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через 15 лет ему будет x+15. Из условия задачи известно, что ему через 15 лет будет 21 год. Составим и решим уравнение:

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по 15:

Ответ: Коле сейчас 6 лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример:

В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила 3, после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила, 8 и в итоге получила 11. Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть x – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему 28, вычел из него 13, вычел задуманное число и получил 52. Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть x – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и 52 получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013. - 280 с.

2. Математика 5 класс. Ерина Т. М. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н. Я., М.: Экзамен, 2013. - 128 с.

3. Математика 5 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., М.: Вентана - Граф, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «mat-zadachi.ru» (Источник)

Домашнее задание

1) Решите уравнения.

2) На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой 3 кг, а на левой чашке – гиря массой 7 кг. Какова масса дыни?

3) Составьте и решите уравнение:

1. Сумма удвоенного числа x и числа 39 равна 81.

2. Разность чисел 32 и y в 2 раза меньше числа 64.

3. Частное суммы чисел x и 12 и числа 2 равно 40.

4. Сумма чисел x и 12 в 3 раза больше числа 15.

5. Частное разности чисел y и 12 и числа 6 равно 18.

6. Утроенная разность чисел y и 17 равнаn 63.