02. Вычитание натуральных чисел

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также о некоторых его свойствах.

Прямое и обратное действие

В жизни мы сталкиваемся с прямыми и обратными действиями. Например, можно зайти в дом и выйти из дома. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже можем найти пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Как устроено сложение? К яблокам добавили яблока, вот и получили сложение, получилось яблок (рис. 1).

Вычитание: было яблок, отняли , осталось . Получилось вычитание (рис. 2).

Понятно, что добавить яблока или отнять яблока — это прямо противоположные действия. Таким образом, сложение и вычитание — это взаимопротивоположные действия.

Вычитание

Как же мы всё-таки вычитаем? Чтобы вычесть из пяти два, не берём действительно яблок, не откладываем в сторону , и не считаем то, что осталось.

Мы используем абстрактные рассуждения, используем числа.

На самом деле, мы каждый раз помогаем себе, используем противоположную операцию — сложение.

От отнять . Как человек думает в этот момент?

— это сумма двух чисел.

И мы понимаем, что если два отнимаем, то остаётся .

Получен этот результат при помощи сложения.

можно представить и по-другому. Если нам нужно от отнять , то мы вспоминаем, что у есть и другое эквивалентное представление: . От отнимаем , остаётся . Результат вычитания: .

Как от отнять ?

сразу представляем в виде суммы: . Значит, после вычитания останется .

Становится понятно, что вычитание — нахождение неизвестного слагаемого.

Ещё раз рассмотрим пример: . Чтобы вычесть из числа число , нужно представить в виде двух слагаемых  и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Определение вычитания

В общем виде, если из числа  нужно вычесть число :

Значит, что число  нужно представить в виде двух слагаемых  и .

Причём одно слагаемое нам известно — , а другое неизвестно — . Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там лежит, невозможно. Мы с вами занимаемся вычитанием натуральных чисел. Натуральные числа — те, которые нам нужны для счёта, в том числе и яблок. У нас именно такая ситуация, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будем изучать и другие числа, не натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Но пока договоренность следующая: из числа  вычитаем число , только если  не меньше, чем . Результатом будет новое число .

• Число , от которого мы будем отнимать, которое мы будем уменьшать, называют «уменьшаемое».

• Число , количество, которое мы будем отнимать, вычитать, называется «вычитаемое».

• Число , результат вычитания, называется разностью.

• Сама запись тоже называется разностью (рис. 3).

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница между яблоками и яблоками? Разница — яблок. А это и есть разность двух чисел — и . Разность или разница равна .

Таким образом, с одной стороны, разность — это результат вычитания из одного числа другого. С другой стороны, это разница между двумя числами.

Задачи на вычитание

Рассмотрим несколько типичных примеров, которые приводят к процедуре вычитания.

Пример 1

Папе лет, а маме на года меньше. Сколько маме лет?

Мы знаем уменьшаемое — это и на сколько нужно уменьшить, сколько нужно вычесть — .

 года маме.

Ответ: маме года.

Это первый тип задач.

Пример 2

В классе учится человек, из них девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего человек. Девочек , мальчиков – неизвестное количество, например .

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого – это и есть задача на вычитание. Из отнимаем .

Ответ: в классе мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма: . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого — это и есть вычитание: .

Пример 3

Сестре лет, а брату — . Какова разница в возрасте сестры и брата?

Нужно узнать разницу, а значит нужно вычитать. Итак, вычитаем из число .

года.

— и есть разница возрастов.

Ответ: разница в возрасте сестры и брата составляет года.

Это третий тип задач – задачи на сравнение.

Задача 1

В вазе яблок. Петя взял яблока, Маша взяла яблока. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение:

У нас есть два пути, как решить эту задачу.

1 способ

Мы можем найти, сколько ребята взяли вместе яблок. Петя взял , Маша — , всего они взяли  яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

 яблок.

Если записать в одну строчку:

 яблок

2 способ

Яблоки, скорее всего, брали не одновременно, а последовательно. Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял , осталось  яблок. Маша взяла ещё , осталось  яблок.

Или, в одну строчку:  яблок.

Ответ: в вазе осталось яблок.

Оба способа равносильны, ответы одинаковые.

Правило вычитания

Пример 4

1 способ

Можно сделать сначала действия в скобках и потом из вычесть результат.

2 способ

Воспользуемся свойством. Вычесть сумму — вычесть по отдельности каждое слагаемое. В данном случае это оказывается удобно. Мы видим, что и оканчиваются на одну цифру, на . Значит, удобнее вычесть из первое число, , а затем второе число .

Ответ тот же самый.

Правило

Пусть есть ваза с яблоками. Мама туда добавила яблока, а папа взял . Изменится ли итоговое количество яблок, если они сделают это в другой последовательности – сначала папа возьмёт , а потом мама добавит ? Понятное дело, что в вазе всё равно в итоге окажется одинаковое количество яблок.

Таким образом, мы пришли ещё к одному правилу.

То есть если к числу что-то прибавляется и вычитается, то эти действия можно менять местами. Главное — помнить, что мы не можем от меньшего отнять большее.

Пример 5

1)

Здесь удобно сначала из вычесть . Для этого меняем местами действия сложения и вычитания.

2)

Имеет ли смысл переставлять местами слагаемые? Нет, потому что тогда мы будем из меньшего числа вычитать большее число, а мы договорились этого не делать. Поэтому, в данном примере, переставлять не получится. Придётся вычислить по порядку.

Давайте представим, что будет, если из вазы с яблоками не взять ни одного яблока? Понятное дело, что количество яблок в вазе не изменится.

Таким образом появляется свойство:

Если из вазы с яблоками забрать все яблоки, понятно, что там останется .

На самом деле, чтобы понять эти свойства необязательно было прибегать к иллюстрации с яблоками.

Если из числа нужно вычесть , то вспомним определение вычитания . Нам нужно представить число как сумму двух слагаемых . Мы знаем, что при прибавлении не меняет числа, поэтому вторым слагаемым, неизвестным, может быть только . Поэтому, .

Чему равен результат вычитания ? Мы должны представить как сумму двух слагаемых . Но только не меняет исходного числа при прибавлении. Итак, . Значит, .

Пример 6

1)

Скобки нам говорят о том, что сначала нужно выполнить сложение. Но достаточно легко заметить, что вычитать из первого числа второе намного приятнее, чем делать сложение, указанное в скобках. Поэтому воспользуемся свойством. Вычесть сумму — то же, что вычесть каждое по отдельности.

2)

Давайте посмотрим, что удобнее в первую очередь сделать здесь? Числа и оканчиваются на . Вычитать одно из другого приятнее, чем складывать слагаемые в скобках. Поменяем порядок действий.

3)

Имеет ли смысл тут что-то менять? На самом деле тут всё очень легко посчитать.

Тот вид, в котором было записано, оказался самым удачным.

4)

Первое число и последнее число оканчиваются на , поэтому удобнее начинать работать с ними. Поменяем местами слагаемые в скобках, а затем воспользуемся правилом вычитания суммы из числа.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. Вычитание в столбик

3. Основные операции

Проверьте себя

Вычислите удобным способом: 

Список использованных источников:

Рис. 1–6. Иллюстратор Ракитина К. В.