01. Делители и кратные

На уроке мы узнаем, что такое множители, делители и кратные. Научимся раскладывать числа на простые и составные множители, находить делители числа. Решим несколько тематических задач, чтобы закрепить изученный материал.

Множитель и делитель

Одно и то же количество можно записать разными способами:

Числа 3 и 5 перемножены и дают число 15.

Поэтому они называются множителями числа 15.

Но на них можно и поделить. Поэтому они же называются делителями числа 15.

15 делится на 5, потому что в 15 уже входит множитель 5.

Мы абсолютно равноправно можем говорить про делители числа или про множители числа — это одно и то же.

Сколько же у числа делителей (множителей)?

Любое число можно представить как произведение единицы и самого этого числа, например:

То есть у любого числа есть множитель 1 и само это число.

То же самое можно сказать так:

То есть любое число имеет делителем единицу и само себя.

А что можно сказать про саму единицу и её делители? Она тоже делится на единицу и на саму себя. Но это одно и то же. То есть у неё всего один делитель — сама единица.

Простые и составные числа

Число 30 можно представить в виде:

Число 15 тоже можно разложить:

Числа 2, 3, 5 не раскладываются дальше.

Такие числа называются простыми.

Простые числа — это натуральные числа, большие 1, имеющие ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.

Числа, которые можно разложить, называются составными.

Составные числа — натуральные числа, у которых более двух делителей.

30 и 15 — это примеры составных чисел, 2, 3 и 5 — это примеры простых чисел.

А каким числом является единица, простым или составным? Вроде бы единицу хочется отнести к простым числам. Но у любого простого числа есть два делителя — единица и оно само. У единицы же всего один делитель (единица). То есть она ещё «проще», чем простое число. Поэтому её решили не относить ни к простым, ни к составным числа.

Итак, все числа бывают либо единица, либо простые, либо составные.

Самое меньшее, то есть первое простое число — это 2.

Разложение на простые множители

Любое число можно разложить на простые множители.

Можно раскладывать в другом порядке:

Получим точно такое разложение, только множители идут в другом порядке, но это не влияет на произведение.

Это свойство часто называют «основная теорема арифметики».

Вернёмся к вопросу о количестве делителей. Любое число можно разложить на простые множители. Все эти простые множители являются делителями исходного числа. Кроме того, делителем является единица и само это число. Осталось ли ещё что-нибудь, кроме того, что мы уже перечислили?

Вспомним разложение числа 30.

Но из чисел 3 и 5 можно собрать число 15. Оно тоже является множителем (делителем), только не простым, а составным.

Так же можно собрать делители:или

Таким образом, у любого числа есть делители:

1);
2) все простые множители;
3) все комбинации простых множителей.

Если взять все простые множители, то получится исходное число:

Задание 1

Найдите все делители чисел:

Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, не обязательно исходное число раскладывать на множители. Можно просто попробовать одно число поделить на другое.

Задача 1

Проверим, является ли число 12 делителем числа 2940.

Поделим столбиком.

Ответ: да, является.

Заодно мы нашли ещё один делитель (множитель):

Оба они не являются простыми. Их можно разложить. Но задача этого не требовала.

Кратное

Числа 3 и 5 называются множителями (делителями) числа 15.

А само число 15 называют кратным числу 3 и кратным числа 5.

Любое число, для которого число 3 является делителем, называется кратным числу 3.

Например,, поэтому 51 кратно числу 3.

Это же самое можно сказать иначе: 51 делится на 3, поэтому 51 кратно 3.

Конечно, 51 кратно и 17.

Как получить для числа какое-нибудь кратное?

Нужно просто его умножить на любое число.

Умножим 12 на 3. Получим кратное для 12 и, конечно, для трёх.

Сколько существует кратных для числа 13?

Мы можем умножать 13 на любые числа и получать новые кратные. Их бесконечно много.

Чтобы проверить, что одно число является кратным для другого, нужно узнать, является ли второе число делителем первого. Это мы уже научились делать.

Задание 2

Пусть дано число

Ответим на несколько вопросов:

1. Какой наименьший делитель у этого числа?

Делитель единица есть у любого числа. Он и есть наименьший: 1.

2. Какой наибольший делитель у этого числа?

Само число и есть наибольший делитель:

3. Каково наименьшее кратное у этого числа?

Понятно, что число делится само на себя. Не существует числа меньше, которое было бы кратным нашему числу. Само число и есть наименьшее кратное для себя:

4. Каково наибольшее кратное у этого числа?

Существует бесконечно много кратных для любого числа. Самого большого среди них не существует.

Задача 2

Напоследок решите самостоятельно задачу.

В классе 24 ученика. На сколько равных по числу команд можно разделить класс?

Заключение

На уроке мы узнали, что такое множители, делители и кратные. Научились раскладывать числа на простые и составные множители, находить делители.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «spacemath.xyz».

Проверь себя

1. Найдите все простые числа, меньшие, чем число 60.

2. Запишите все делители чисел 8, 9, 12, 17, 30.

3. Выберите из чисел 28, 38, 42, 52, 56, 57, 70, 76 те, которые:

   а) кратны 14;

   б) кратны 19;

   в) не кратны 4;

   г) не кратны 3.

4. Запишите все двузначные числа, кратные числу 16.