07. Дробные выражения

Дробное выражение

Что же такое дробь? Например, дробь  – это деление числа 7 на число 12, записанное с помощью дробной черты.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

Примеры дробных выражений: ; ; .

Дробь  также является дробным выражением.

Упрощение дробных выражений

У дробного выражения существуют эквивалентные, равные ему, выражения. Выбрать из всех эквивалентных выражений самое простое – значит упростить дробное выражение.

Пример 1.

Упростить дробное выражение:

Решение:

Выполним вычитание в числители и сложение в знаменателе:

Разделим числитель и знаменатель на 17:

Ответ:

.

Задача 1

Упростите дробное выражение:

Решение:

В числителе и знаменателе – смешанные дроби. Чтобы разделить одну смешанную дробь на другую, нужно обе записать как неправильные.

Получившееся дробное выражение эквивалентно произведению дробных выражений:

Сократим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на 3:

Ответ: .

Задача 2

Сложите дробные выражения: .

Решение:

1 способ

Приведём эти дробные выражения к одному знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

Сократим числитель и знаменатель на 7:

2 способ

Можно сразу избавиться от десятичных дробей в знаменателях, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 10:

Далее приводим два дробных выражения к общему знаменателю:

Сократим числитель и знаменатель на 7:

Ответ: .

Задача 3

Упростите дробное выражение: .

Решение:

Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:

Запишем получившееся выражение с помощью знака деления:

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

Числитель первой дроби и знаменатель второй можно сократить на 5 и на 4:

Ответ: .

Задача 4

Упростите дробное выражение:

1) 

Решение:

Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:

Запишем это дробное выражение с помощью знака деления, а далее заменим знак деления на знак умножения и перевернем вторую дробь:

Сократим числитель первой дроби и знаменатель второй на 3 и 7, а числитель второй дроби и знаменатель первой – на 5:

Сократим числитель и знаменатель на 2:

2) 

Решение:

Преобразуем числитель первого дробного выражения и знаменатель второго:

Распишем данные дробные выражения с помощью знака деления:

Заменим знаки деления на знаки умножения и перевернем соответствующие дроби:

Первое дробное выражение сократим на 9:

Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:

Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби:

Сократим полученную дробь на 2:

Ответ: 1.; 2. .

Преобразование «многоэтажных» дробей

Существует очень простой алгоритм, который позволяет за одно действие разобрать «многоэтажную» дробь и получить обычную «двухэтажную».

Необходимо после знака равно начертить дробную черту и для каждого элемента из «многоэтажной» дроби найти его место в новой дроби. Для этого нужно рассмотреть каждое число в исходной дроби.

Если число находилось в исходной дроби нечетное число раз в знаменателе, то в новой дроби оно окажется в знаменателе; если число находилось в исходной дроби четное число раз в знаменателе или не находилось в знаменателе вообще, то в новой дроби оно окажется в числителе.

Рассмотрим примеры.

Упростите дробные выражения.

1. 

Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:

Число 5 (в данном выражении две пятерки, их рассматриваем отдельно) находится в числителе дроби  и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе дроби  и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 16 находится в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 4 находится в числителе дроби  и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 3 находится в знаменателе дроби и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе четное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

Запишем полученное дробное выражение:

Сократим числитель и знаменатель на 5 и на 4:

2. 

Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:

Число 3 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 5 находится в знаменателе дроби , то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 7 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 6 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 8 находится в знаменателе дроби  и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения и в знаменателе выражения , то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 9 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

Запишем полученное дробное выражение:

Сократим числитель и знаменатель на 5, 7, 2 и 3:

3. 

Рассмотрим числа в каждом дробном выражении:

а) выражение 

Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 7 находится в знаменателе дроби , то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 9 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 18 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

б) выражение 

Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 2 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;

число 7 находится в знаменателе дроби  и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;

число 3 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.

Запишем полученные дробные выражения:

Сократим числитель и знаменатель первого выражения на 9:

Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:

Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби: 

Сократим полученную дробь на 2:

Ответ: 1. ;  2. ;  3..

Задача 5 (дробные выражения с переменными)

Чтобы найти значение выражения с переменными, необходимо подставить в это выражение значения этих переменных. Но предварительно имеет смысл упростить выражение, если это возможно.

Найти значение выражения.

1. , при 

Решение:

Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

Подставим в полученное выражение значение переменных:

2.  , при 

Решение:

Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

Так как , то:

Мы получили ответ, даже не подставив значения переменных.

Ответ: 1) ; 2) .