06. Масштаб (Слупко М.В.)

Введение

Посмотрите на эту картинку. Это БелАЗ – один из самых больших карьерных грузовиков в мире.

Но как понять, насколько он большой? Может это игрушка?

Или машина размером с трёхэтажный дом?

Теперь давайте посмотрим на другую фотографию. Здесь уже можно сделать вывод о размерах грузовика – он раза в 4 выше взрослого человека, в 2 раза выше КамАЗа и т.д.

Теперь мы можем прикинуть его высоту: средний рост человека мы знаем – приблизительно 1 метр 80 сантиметров. Значит, высота грузовика чуть больше 7 метров.

Если вы найдёте в Интернете его характеристики, то убедитесь, что данная оценка очень близка к истине.

Какой вывод мы можем сделать? Для того чтобы по изображению можно было узнавать истинные размеры объекта, необходимо иметь какой-то эталон – объект, длину которого мы знаем. В нашем примере это был человек, рост которого мы знаем.

Что такое масштаб

Измерять высоту в людях, КамАЗах, машинах неудобно (потому что высота у людей, машин может быть разной). Поэтому лучше использовать универсальные единицы измерения (сантиметры, метры, километры) и прибор, позволяющий измерять размеры, например, линейку.

Измерим высоту линейкой – получилось 7 см.

Если бы мы знали, сколько в 1 см на фотографии «настоящих» сантиметров, то легко посчитали бы высоту машины: если в 1 см на картинке 100 «настоящих» сантиметров (то есть на фотографии картинка уменьшена в 100 раз), то 7-сантиметровый грузовик в жизни окажется 100-сантиметровым, или 7-метровым.

На самом деле только что мы научились измерять расстояния по карте. Действительно, если мы знаем, что на карте 1 см равен 5 км на местности, то расстояние длиной 5 см на карте – это 25 км на местности.

Отношение размеров изображения к истинным размерам объекта назвали масштабом. Обозначают его буквой . В нашем случае. Читается так: «масштаб 1 к 100».

Числитель дроби соответствует размеру изображения, а знаменатель – реальному размеру.

Запись  означает, что реальные размеры в 10 000 раз больше нарисованных.

Запись масштаба в виде дроби практически не используют, и мы обычно его видим в таком виде:

.

Обычно масштабом пользуются при чтении карт и чертежей домов или деталей.

Виды масштаба

Не всегда изображение меньше реального объекта. Чертеж может быть одинакового размера с деталью или большего размера (если деталь сама мелкая).

• Если масштаб меньше единицы (то есть изображение меньше реального объекта), то его называют масштабом уменьшения. Например:. Изображение в 10 000 раз меньше реального объекта. Такой масштаб мы встречаем на картах, на чертежах домов или больших деталей, планах квартир.

• Если масштаб больше единицы (то есть изображение больше реального объекта), то его называют масштабом увеличения. Например:. Изображение в 10 раз больше реального объекта. Такой масштаб встречается при изображении мелких деталей и, например, насекомых.

• Если масштаб равен единице (то есть изображение по размеру равно реальному объекту) – , то говорят, что изображение выполнено в натуральную величину. Мы часто видим такой масштаб у манекенов в магазине. Их размер равен реальному размеру человека.

Использование масштаба

Вот две карты разного масштаба – города и страны (Рис. 10). Масштаб первой карты , второй –.

Оба масштаба – это дроби. Так как в первом случае знаменатель меньше, то сам масштаб больше:

.

Для масштабов употребляют слова не «больше» и «меньше», а «крупнее» и «мельче». В данном случае  крупнее, а  мельче.

Пример

На карте расстояние от города до деревни 23 см. Масштаб карты 1:200 000. Найти истинное расстояние от города до деревни.

Решение

Такой масштаб означает, что реальный размер в 200 000 раз больше изображенного на карте.

Умножим измеренную длину на 200 000: 

Ответ: 46 км.

Для достаточно мелких масштабов (с большим знаменателем) после умножения получается очень большое число. Количество нулей мы уменьшаем, переводя сантиметры в метры или километры.

Иногда для нашего удобства этот перевод уже осуществлен. На карте можно увидеть такую запись: . Это не математическая запись (мы знаем, что 1 см не равен 2 км).

Чтобы вернуться к записи масштаба в виде отношения, нужно перевести километры в сантиметры:

.

Но пользоваться первой записью масштаба достаточно удобно.

Если на карте расстояние равно 4 см, то в реальности оно означает 8 км.

Задачи

Задача 1. Длина железной дороги Москва – Санкт-Петербург равна 650 км. Какой длины будет ее изображение на карте масштаба 1:10 000 000?

Решение

Масштаб является уменьшающим. Изображение меньше реального в 10 млн раз. Поделим реальный размер на это число:

Ответ: 6,5 см.

Задача 2. Ширина детали равна 7 мм. Какова будет ее ширина на чертеже ?

Решение

Масштаб увеличивающий. Значит, ширина на чертеже будет в 20 раз больше: .

Ответ: 14 см.

Заключение

Итак, повторим.

Масштаб – это отношение размера изображения к реальному размеру:

Если изображение меньше реального объекта, то масштаб уменьшающий. Числитель у него – единица, а знаменатель показывает, во сколько раз изображение уменьшено. Чем больше знаменатель, тем мельче масштаб ().

Если изображение больше реального объекта, то масштаб увеличивающий. Знаменатель – единица, а числитель показывает, во сколько раз изображение увеличено. Чем больше числитель, тем крупнее масштаб 

Представим следующую ситуацию. Длина детали 5 см, а на чертеже получилось 2 см. Это будет означать, что . Или длина детали 4 см, а на изображении – 20 см. Тогда . Вопрос: почему мы не сталкиваемся с такими записями масштабов? Ведь могут встретиться такие размеры? Да, могут. И такой масштаб можно было бы указать, но тогда он стал бы сложнее для перевода. Такие дроби сокращают, чтобы или числитель, или знаменатель был равен 1. Получаем, что

.

В качестве домашнего задания попробуйте составить план своей комнаты в масштабе 1:50. Кроме самой комнаты, начертите свою кровать, стол, шкаф.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.

2. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г., М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. - М.: 2010; Ч.2 - 128с..

3. Математика. Учебник для 6 класса, Виленкин Н.Я. и др., М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник)

Домашнее задание

1. Расстояние между городами 1300 км. Какой длины получится отрезок, соединяющий их на карте, если масштаб карты 1:20 000 000?

2. Расстояние на карте Кемеровской области между городами Юрга и Кемерово равно 21 см. Масштаб карты 1:400 000. Вычислите расстояние на местности.

3. Найдите масштаб карты. Расстояние между двумя пунктами на местности, равное 190 м, изображено на карте отрезком длиной 1,9 см.