07. Масштаб (Вольфсон Г.И.)

Масштаб. Иллюстрирующий пример и определение

Рассматривая любую географическую карту, мы обязательно увидим на ней частное двух чисел. Например, отношение . Карта – это уменьшенное изображение участка земной поверхности. Во сколько раз были уменьшены реальные расстояния, указывают на карте, записывая отношение, называемое масштабом.

Данный масштаб означает, что 1 см на карте соответствует отрезок в 100 000 см на местности. Если перевести 100 000 см в более крупные единицы длины, то получим, что

1 см соответствует 1 км.

Действительно, мы знаем, что в 1 м – 100 см. Значит, 100 000 см – это 1000 м, а 1000 м – это и есть 1 км.

Сформулируем определение.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Задача 1. По длине отрезка на карте найти его длину на местности

Длина отрезка на карте – 3 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты .

Решение.

Обозначим за   неизвестное.

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: .

Оно равно масштабу карты:

Запишем равенство:

Перед нами пропорция. Найдем ее неизвестный средний член, используя основное свойство пропорции.

Значит, длина соответствующего отрезка на местности – 3 000 000 см. Переведем это число в более крупные единицы длины. Получим 30 км.

Ответ: 30 км.

Задача 2. По длине отрезка на местности найти его длину на карте

Расстояние между поселками на местности – 4,5 км. Чему равна длина соответствующего отрезка на карте, сделанной в масштабе ?

Решение.

Переведем сначала 4,5 км в сантиметры.

Обозначим длину отрезка на карте буквой . Составим пропорцию.

Слева от знака равенства – отношение длины отрезка на карте к расстоянию между поселками, а справа – масштаб. Используя основное свойство пропорции, получим:

Итак, длина отрезка на карте – 4,5 см.

Ответ: 4,5 см.

Задача 3

Масштаб используют не только для описания географических карт. Его используют для любых уменьшенных по сравнению с реальностью изображений и моделей, например, для описания чертежей. Решим задачу.

Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе, равна 7,2 см. чему будет равна длина этой же детали на другом чертеже, сделанном в масштабе  ?

Решение.

Узнаем, чему равна длина детали в реальности. Обозначим эту длину за  и составим пропорцию.

Слева от знака равенства – отношение длины детали на чертеже к длине детали в реальности, а справа – масштаб. Решим пропорцию.

Значит, длина детали – 36 см. Теперь ответим на поставленный в задаче вопрос. Обозначим буквой y (см) длину детали на новом чертеже. Составим и решим пропорцию.

Значит, на втором чертеже длина детали – 12 см.

Ответ: 12 см.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989. 

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011. 

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник).

2. Можно скачать указанные в п.1.2. книги.

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)

2. Домашнее задание: №824, №840, №844

3. Другие задания: №846, №838 (а)