06. Нахождение числа по его дроби

Введение

Мы часто находим часть от числа или наоборот, вычисляем число по его части:

Например:

Сколько будет  от 5 км? Понятно, что полпути – это 2,5 км.

Или наоборот:

Треть арбуза весит 4 кг, сколько весит весь арбуз? Чтобы  была 4 кг, весь арбуз должен весить 12 кг.

Все вычисления нам тоже уже знакомы в таких задачах – это умножение и деление целых чисел и дробей.

Сейчас мы разберем, какие задачи на эту тему бывают и каков их общий метод решения, алгоритм.

Когда мы рассматриваем дробь (часть) от какого-то количества, то мы видим три величины:

• Исходное количество. Обозначим его A

• Дробь, часть, проценты. Обозначим эту дробь q.

• Дробная часть исходного количества. Обозначим это количество B.

Например:

• A=60 – количество минут в одном часе.

• Дробь – .

• B=20 – количество минут в одной трети часа.

Все эти три величины связаны одним равенством:

Или в общем виде:

Эта строчка  описывает очень простой факт: Если некое количество умножить на дробь, то получим дробь от этого количества.

Этой записи достаточно, чтобы решить любую задачу по теме «дробь от числа», любую задачу на проценты.

То есть, у нас появляется алгоритм. Причем, очень простой алгоритм для решения задач на дроби от числа, на проценты.

Итак, у нас три величины, связанные равенством. Если известны две, то всегда можно найти третью. В зависимости от того, какая величина неизвестна, получаем три типа задач. На самом деле, различия очень невелики, алгоритм решения один и тот же.

Первый тип: неизвестно B

То есть мы знаем исходное количество и дробь. Нужно найти эту дробь от исходного числа.

Пример 1

Сколько будет  часа?

Ответ: 12 минут.

Пример 2

Полуторалитровая бутылка наполнена на . Сколько там воды?

Ответ: 1,125 литра.

Пример 3

Если положить 20 000 рублей в банк под 13 % годовых, сколько денег будет на счету через год?

Банк за год добавит к исходной сумме 13 % от нее. Найдем эту добавку. Исходная сумма – 20 000. 1 % – это . 13 % – это 0,13. То есть добавка – это 0,13 от 20 000. Найдем ее.

Мы нашли добавку. В задаче спрашивалось, сколько всего будет на счету.

Сложим исходную сумму и добавку

На самом деле, такую задачу решают не в два действия, а в одно.

Банк добавит 13 %. Значит, сколько процентов от исходной суммы будет через год? Исходная сумма – 100 % и еще 13 %. Итого 113 %. То есть нам нужно найти 113 % от исходной суммы.

Ответ: 22 600 рублей.

У кого вызвала затруднение работа с процентами, посмотрите урок на эту тему, перейдя по ссылке.

Второй тип: неизвестно A

Мы не знаем, какое было число изначально, но знаем, сколько получилось, когда от него взяли некую дробь. Нужно найти исходное.

То есть мы не знаем A, но знаем q и B.

Тогда 

Пример 4

Дедушка  своей жизни провел в деревне, что составило 63 года. Сколько лет дедушке?

Нам неизвестно исходное число – возраст. Но мы знаем долю  и сколько лет эта доля составляет от возраста. Составляем равенство. Оно имеет вид уравнения с неизвестной A. Выражаем A и находим его.

Ответ: 84 года.

Не очень реалистичная задача. Вряд ли дедушка будет выдавать такую информацию о своих годах жизни.

А вот следующая ситуация очень распространена.

Пример 5

Скидка в магазине по карте 5%. Покупатель получил скидку 30 рублей. Какова была стоимость покупки до скидки?

Мы не знаем изначального числа – стоимости покупки. Но знаем дробь (проценты, которые написаны на карте) и сколько составила скидка.

Составляем нашу стандартную строчку. Выражаем неизвестную величину A и находим ее.

Ответ: 600 рублей.

Пример 6

Еще чаще мы сталкиваемся с такой задачей. Мы видим не величину скидки, а какая получилась стоимость после применения скидки. А вопрос тот же: сколько бы мы заплатили без скидки?

Пусть у нас опять 5%-я дисконтная карта. Мы показали на кассе карту и заплатили 1140 рублей. Какова стоимость без скидки?

Чтобы решить задачу в один прием, чуть переформулируем ее. Раз у нас 5%-я скидка, то сколько мы платим от полной цены? 95 %.

То есть нам неизвестна исходная стоимость, но мы знаем, что 95 % от нее составляет 1140 рублей.

Применяем алгоритм. Получаем начальную стоимость.

Ответ: 1200 рублей.

Третий тип: неизвестно q

Мы знаем, какое число было и какое получилось, но не знаем, какую часть взяли. Ее и надо найти.

Пример 7

Какую часть составляет 18 от 75? А сколько это процентов?

Алгоритм тот же самый – записать наше равенство. Главное – не перепутать, где изначальное число, а где полученное после взятия дроби.

Изначальное число – 75. А некая его неизвестная нам часть – это 18.

То есть  от 75 равно 18.

Если ответ нужно дать в процентах, то  нужно перевести в десятичную дробь.

То есть 18 – это 24% от 75.

Ответ: 24%.

Такие задачи часто могут встречаться в реальной жизни.

Пример 8

Например, как измерить соленость морской воды?

Очень просто. Возьмем килограмм морской воды. И выпарим ее всю. Останется сухая соль. Взвесим ее. Получилось, например, 52 г.

Что мы знаем?

Что изначальное количество 1 кг = 1000 г. Какую-то неизвестную нам долю q составляет соль. Эта доля составляет 52 г. Найдем, какую долю в общей массе составляет соль.

Применяем наш алгоритм и находим q.

Если бы мы взяли 2 кг воды и всю ее выпарили, то получили бы и соли в два раза больше. Доля q не изменилась (увеличили числитель и знаменатель в два раза). То есть доля q не зависит от количества воды, которое мы берем для исследования. Эта доля и называется соленостью воды.

Ответ: 5,2 %.

Заключение

Для решения всех задач на доли и проценты существует единый очень простой алгоритм.

1. Понять, что является начальным количеством, какую часть мы берем и размер этой части.

2. Записать основное равенство, связывающие три величины.

3. Выразить и найти неизвестную величину, решив уравнение.

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А. Н., Чайковский И. В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А. Н., Сочилов С. В., Чайковский К. Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Математика. 6 класс / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. Стр. 104–105. п.18. № 680; № 683; № 783 (а, б).

2. Математика. 6 класс / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. № 656.

3. В программе спортивных школьных соревнований были прыжки в длину, прыжки в высоту и бег. В соревнованиях по бегу приняли участие  всех участников соревнований, в прыжках в длину – 30 % всех участников, и в соревнованиях по прыжкам в высоту – оставшиеся 34 ученика. Найдите число участников соревнований.