08. Наименьшее общее кратное (Вольфсон Г.И.)

Вводная задача

Для начала решим задачу.

Задача № 1

Один экскурсионный автобус совершает полную экскурсию по городу за 2 часа, а другой – за 3 часа, оба автобуса выехали из базы в 10 часов утра. В какое время автобусы впервые встретятся на базе (рис. 1)?

Решение

Выходит, что первый автобус бывает на базе каждые два часа, а второй – каждые три. Тогда нам нужно найти число, которое бы нацело делилось на 2 и 3. И таким числом будет 6, меньше числа не найти.

Ответ: автобусы встретятся через 6 часов, в 4 часа дня.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка.

Выходит, в случае нашей задачи наименьшим общим кратным для 2 и 3 было число 6, записывается это так:

Приемлема и такая запись: .

Свойства НОК

1. НОК чисел всегда не меньше, чем данные числа.

2. .

3. Если a делится нацело на b , то . .

Пример №1 нахождение НОК

Дано: числа 10, 12

Найти:

Решение

Разложим числа на множители

.

Найдем общие сомножители первого и второго числа, для данного случая это 2. Теперь выпишем множители для десяти и добавим к ним те, которые не являются общими для данных чисел, выйдет:

. Это и есть НОК.

Ответ:

Пример №2 нахождения НОК

Дано: 36, 48

Найти:

Решение

Ответ:

Пример №3 нахождение НОК (для 3 чисел)

Дано: 6, 12, 15

Найти:

Решение

Ответ:

(Обратите внимание: общие множители мы ищем попарно и нам не обязательно их наличие у всех трех чисел, например, два есть только у 6 и 12.)

Пример №4 нахождения НОК и НОД

Дано:

Свойство НОК и НОД и пример его применения

Можно заметить, что в НОК не входит НОД чисел. Тогда выведем свойство:

Произведение любых двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)

Пример использования формулы:

Используем алгоритм Евклида:

Повторение пройденного на уроке

Мы выучили определение НОК, научились находить НОК для двух и больше чисел.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс. Учебник. – 2014.

2. Никольский С.М., Потапов М.К. Математика. 6 класс. Учебник. – М.: 2012. – 256 с.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «math-prosto.ru»

2. Интернет-портал «videouroki.net»

Проверьте себя

1. Найти

2. Найти.