09. Наименьшее общее кратное (Богданович Е.М.)

Определение

Кратное для числа a – это такое число, которое делится на a.

Например, есть вещи однократного применения – одноразовая посуда, салфетка. А есть вещи многократного применения – фотоаппарат, компьютерная игра.

Примеры № 1

Кратное мы можем получить, если несколько раз повторим что-то. Например, для трёх кратное три, если мы повторим его один раз; шесть, если повторим два раза; девять, если повторим тройку три раза. А для пятнадцати кратное будет пятнадцать, тридцать, сорок пять и т. д. Обратите внимание: все эти числа делятся на свой делитель: в первом случае – три, а во втором – пятнадцать.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) для нескольких чисел – это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Примеры № 2

Найти наименьшее общее кратное для чисел: 1) 15 и 21; 2) 42 и 70.

Решение

1. Вначале найдём кратные пятнадцати:

15, 30, 45, 60, 75, 90, 105 и т. д.

Теперь вычислим кратные двадцати одного:

21, 42, 63, 84, 105, 126, 147 и т. д.

Видим, что у пятнадцати и двадцати одного есть общее кратное – сто пять. Можно найти ещё много общих кратных, продолжая ряды общих кратных для пятнадцати и двадцати одного, но тогда эти кратные не будут самыми маленькими.

Поэтому записываем, что наименьшее общее кратное чисел пятнадцати и двадцати одного – это сто пять.

2. У 42 кратные: 42, 84, 126, 168, 210 и т.д. А у 70 кратные – это 70, 140, 210, 280 и т.д.

Видим, что у этих двух чисел наименьшее общее кратное – 210.

Такой способ всегда даст ответ, но иногда так решать очень долго и неудобно. Поэтому, чтобы рационально искать НОК, придумали специальный способ, который заключается в том, что числа необходимо вначале разложить на простые множители.

Примеры № 3

Найти НОК таких чисел: 1. 72 и 84; 2. 129 и 240; 3. 129 и 40 4. 21 и 25; 5. 2 и 7.

Решение

1. Разложим на простые множители числа: 72 и 84.

Теперь анализируем: чтобы число делилось на 72, оно должно состоять из трёх двоек и двух троек, а чтобы число делилось на 84, оно должно состоять из двух двоек, одной тройки и семёрки.

Далее необходимо выписать простые множители первого числа и дописать те простые множители из разложения второго числа, которых не хватает.

Таким образом, наименьшее общее кратное данных чисел – это произведение выписанных простых множителей:

.

2. Как и в предыдущем случае, раскладываем числа на простые множители.

Теперь выписываем простые множители первого числа и дописываем недостающие множители второго. После того как всё умножим, получим НОК – наименьшее общее кратное этих чисел.

3. Аналогично поступаем со следующей парой чисел:

Если у чисел нет общих делителей, они называются взаимно простые.

Для взаимно простых чисел наименьшее общее кратное – это произведение самих чисел.

4. Данная пара – взаимно простые числа.

5. Два и семь тоже взаимно простые, поэтому наименьшее общее кратное у них – это произведение двух и семи.

Определение

Наименьшее общее кратное чисел A и B – это самое маленькое число, которое делится на A и на B.

Общее свойство НОК и НОД

У наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) есть одно очень интересное свойство – если НОК чисел a и b умножить на НОД этих чисел, то получится то же самое, если просто a умножить на b.

.

Например, возьмем числа 21 и 56.

Список литературы

1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: ил.

2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 6 класс. – М.: Мнемозина.

3. Истомина Н.Б., Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «fxyz.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 29 §7, № 180, 184, 186, 188.

2. Что такое взаимно простые числа?

3. Что такое НОД и НОК? Какое у них общее свойство?

4. Найди НОК таких чисел:

а) 30 и 42

б) 16 и 18

в) 13 и 19

г) 127 и 319

д) 2 и 9